Considere a seguinte EDO:
\frac{d y}{d x}-3 x^{2} y=2 x^{2}.
Encontre a reta que tangencia a solução dessa EDO que passa no ponto \mathrm{P}=(3,1).

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}-3x^{2}y=2x^{2},
e pede a reta tangente à solução que passa por P=(3,1). Vamos resolver a EDO por fator integrante e depois calcular o coeficiente angular no ponto P.

Passo 2

Escrevemos o coeficiente de y como -3x^2. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -3x^2\,dx\Bigr)=\exp(-x^3).
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
\exp(-x^3)\frac{dy}{dx}-3x^2\exp(-x^3)\,y =2x^2\exp(-x^3),
e o lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^3}\bigr).

Passo 3

Integrando ambos os lados em relação a x:
y\,e^{-x^3}=\int 2x^2\,e^{-x^3}\,dx +C.
Fazendo a substituição t=-x^3 em \int2x^2e^{-x^3}dx resulta em -\tfrac{2}{3}e^{-x^3}. Logo
y\,e^{-x^3}=-\frac{2}{3}e^{-x^3}+C \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{2}{3}+C\,e^{x^3}.

Passo 4

Impondo a condição inicial y(3)=1:
1=-\frac{2}{3}+C\,e^{27} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{5}{3}e^{-27}.
Assim, a solução particular é
y=-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}\,e^{\,x^3-27}.

Passo 5

Para achar a inclinação da tangente em P, usamos diretamente a EDO original:
\frac{dy}{dx}=3x^2y+2x^2.
Em (3,1) isso dá
m=3\cdot3^2\cdot1 +2\cdot3^2=27+18=45.

Passo 6

A reta tangente com coeficiente angular 45 em P=(3,1) é
y-1=45(x-3) \quad\Longrightarrow\quad y=45x-134.

Resposta

y=45x-134

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