Uma bolsa contém uma bola preta e m bolas brancas. Uma bola é retirada aleatoriamente. Se ela for preta, ele é retornada para o saco. Se for branca, ela e uma bola branca adicional são devolvidas à bolsa. Deixe
indicar o evento em que a bola negra não é retirada nas primeiras
tentativas. Discuta a reciproca do Lema de Borel-Cantelli com referência aos eventos
.
12 - Dados
, conjuntos de Borel no espaço de Lebesgue
. Mostre que se existe
, tal que
Y para todo
, então existe pelo menos um ponto que pertence a infinitos conjuntos
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma urna com 1 bola preta e m bolas brancas. A cada retirada, se sair preta, só a devolvemos; se sair branca, devolvemos ela e mais uma branca. Definimos A_n como o evento “não sair preta nas primeiras n retiradas”. Pedem (i) discutir a recíproca do Lema de Borel-Cantelli para esses A_n e (ii) mostrar que, em ([0,1],μ), se A_n são conjuntos de Borel com μ(A_n)≥Y>0 para todo n, então existe pelo menos um ponto que pertence a infinitos A_n.
Passo 2
Vamos calcular Pr(A_n): a probabilidade de não sair preta na k-ésima tentativa, dado que nas anteriores só saíram brancas, é
. Como os eventos de não sair preta em cada etapa se compõem de forma sequencial,
fazemos o produto telescópico
fazemos o produto telescópico
Passo 3
Logo
Passo 4
Por outro lado,
Passo 5
Isso mostra que, mesmo com
, temos
. Ou seja, sem independência a recíproca do Lema de Borel-Cantelli não vale.
Passo 6
Para a parte de medida em [0,1], seja
Passo 7
Como para cada n vale
, segue que
.
Passo 8
Pela continuidade de medidas em famílias decrescentes,
Passo 9
Portanto a limsup tem medida positiva, o que implica que existe pelo menos um ponto que pertence a infinitos A_n.
Resposta
a) No experimento da urna, obtemos
logo
mas
, mostrando que sem independência a recíproca do Lema de Borel-Cantelli falha. b) Em ([0,1],μ), definindo
, temos
e pela continuidade de medida
, logo existe ponto em infinitos A_n.