Uma bolsa contém uma bola preta e m bolas brancas. Uma bola é retirada aleatoriamente. Se ela for preta, ele é retornada para o saco. Se for branca, ela e uma bola branca adicional são devolvidas à bolsa. Deixe An indicar o evento em que a bola negra não é retirada nas primeiras n tentativas. Discuta a reciproca do Lema de Borel-Cantelli com referência aos eventos An.
12 - Dados An, n >= 1, conjuntos de Borel no espaço de Lebesgue ([0,1], F(0,1), mu). Mostre que se existe Y>0, tal que n Y para todo An, então existe pelo menos um ponto que pertence a infinitos conjuntos

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma urna com 1 bola preta e m bolas brancas. A cada retirada, se sair preta, só a devolvemos; se sair branca, devolvemos ela e mais uma branca. Definimos A_n como o evento “não sair preta nas primeiras n retiradas”. Pedem (i) discutir a recíproca do Lema de Borel-Cantelli para esses A_n e (ii) mostrar que, em ([0,1],μ), se A_n são conjuntos de Borel com μ(A_n)≥Y>0 para todo n, então existe pelo menos um ponto que pertence a infinitos A_n.

Passo 2

Vamos calcular Pr(A_n): a probabilidade de não sair preta na k-ésima tentativa, dado que nas anteriores só saíram brancas, é m+(k-1)m+1+(k-1)=m+k-1m+k. Como os eventos de não sair preta em cada etapa se compõem de forma sequencial,
fazemos o produto telescópico
Pr(An)=prodk=1^nm+k-1m+k=mm+n

Passo 3

Logo
sumn=1^inftyPr(An)=sumn=1^inftymm+n=infty

Passo 4

Por outro lado,
Prl(limsup Anr)=limntoinftyPr(An)=limntoinftymm+n=0

Passo 5

Isso mostra que, mesmo com sumPr(An)=infty, temos Pr(An io)=0. Ou seja, sem independência a recíproca do Lema de Borel-Cantelli não vale.

Passo 6

Para a parte de medida em [0,1], seja
UN=cupn>= NAn

Passo 7

Como para cada n vale mu(An)>= Y, segue que
mu(UN)>= Y.

Passo 8

Pela continuidade de medidas em famílias decrescentes,
mul(limsup Anr)=mul(capN=1^infty UNr)=limNtoinftymu(UN)>= Y>0

Passo 9

Portanto a limsup tem medida positiva, o que implica que existe pelo menos um ponto que pertence a infinitos A_n.

Resposta

a) No experimento da urna, obtemos Pr(An)=tfracmm+n logo sumPr(An)=infty mas Pr(limsup An)=0, mostrando que sem independência a recíproca do Lema de Borel-Cantelli falha. b) Em ([0,1],μ), definindo UN=cupn>= NAn, temos mu(UN)>= Y>0 e pela continuidade de medida mu(limsup An)>= Y>0, logo existe ponto em infinitos A_n.

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