Considere uma família de eventos independentes Ak in K. Se I cap J=emptyset, mostre que sigmalang<= Ak : k in Irang<= e sigmalang<= Ak: k in Jrang<= são independentes.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, dada uma família de eventos independentes Ak:kinK e dois subconjuntos de índices disjuntos I e J, as sigma-álgebras geradas por esses subgrupos, isto é, sigmalang<= Ak:kin Irang<= e sigmalang<= Ak:kin Jrang<=, também são independentes. Vamos usar a definição de independência de sigma-álgebras e o Teorema dos π-sistemas (π-λ).

Passo 2

Lembramos que duas sigma-álgebras F e G são independentes se, para todo FinF e GinG, vale
P(Fcap G)=P(F)P(G)
Para provar isso, construímos dois π-sistemas que geram essas sigma-álgebras: definimos
PiI=lcapiin I'Bi:,I'subseteq I finito,;BiinAi,Ai^cr,
PiJ=lcapjin J'Cj:,J'subseteq J finito,;CjinAj,Aj^cr
Essas famílias são π-sistemas e geram exatamente as sigma-álgebras sigmalang<= Ak:kin Irang<= e sigmalang<= Ak:kin Jrang<=.

Passo 3

Agora mostramos que qualquer evento HinPiI é independente de qualquer H'inPiJ. De fato, escreve-se
H=capiin I'Bi, H'=capjin J'Cj,
onde cada Bi é Ai ou Ai^c, e cada Cj é Aj ou Aj^c. Como Icap J=emptyset, todos os eventos Bi e Cj pertencem a subfamilias independentes. Então, usando independência de eventos e a propriedade de complementos, obtemos
P(Hcap H') =prodiin I'P(Bi);prodjin J'P(Cj) = P(H),P(H')

Passo 4

Pela independência verificada em todos os pares de eventos de PiI com PiJ e pelo Teorema dos π-sistemas (π-λ), concluímos que as sigma-álgebras geradas por esses π-sistemas, ou seja, sigmalang<= Ak:kin Irang<= e sigmalang<= Ak:kin Jrang<=, são independentes.

Resposta

As sigma-álgebras sigmalang<= Ak:kin Irang<= e sigmalang<= Ak:kin Jrang<= são independentes.

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