Considere uma família de eventos independentes
. Se
, mostre que
:
e
são independentes.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, dada uma família de eventos independentes
e dois subconjuntos de índices disjuntos
e
, as sigma-álgebras geradas por esses subgrupos, isto é,
e
, também são independentes. Vamos usar a definição de independência de sigma-álgebras e o Teorema dos π-sistemas (π-λ).
Passo 2
Lembramos que duas sigma-álgebras
e
são independentes se, para todo
e
, vale
Para provar isso, construímos dois π-sistemas que geram essas sigma-álgebras: definimos
Essas famílias são π-sistemas e geram exatamente as sigma-álgebras
e
.
Passo 3
Agora mostramos que qualquer evento
é independente de qualquer
. De fato, escreve-se
onde cada
é
ou
, e cada
é
ou
. Como
, todos os eventos
e
pertencem a subfamilias independentes. Então, usando independência de eventos e a propriedade de complementos, obtemos
Passo 4
Pela independência verificada em todos os pares de eventos de
com
e pelo Teorema dos π-sistemas (π-λ), concluímos que as sigma-álgebras geradas por esses π-sistemas, ou seja,
e
, são independentes.
Resposta
As sigma-álgebras
e
são independentes.