a) Para todo k=1, ldots, n deixe Pk ser uma partição de Omega em conjuntos enumeráveis de F. Mostre que as sigma-álgebras Ak são independentes se e somente se (1) vale para cada escolha de Pk k=1, ldots, n em A1, ldots, An.
b) Mostre que os conjuntos P(capk=1^n Bk)=prodk=1^n P(Bk) são independentes se e somente se
Bk
para toda escolha de Ak como Ak^c ou k=1, ldots, n para .

Passo 1

O enunciado do item (a) nos dá, para cada k=1,…,n, uma partição Pk de Omega em átomos (conjuntos) mensuráveis, e quer mostrar que as σ-álgebras geradas por essas partições são independentes ⇔ vale a fatoração da probabilidade em cada escolha de átomos AkinPk.

Passo 2

Uma σ-álgebra gerada por uma partição Pk é exatamente o conjunto de todas as uniões (contáveis) de átomos em Pk. Ou seja, qualquer evento Fkinsigmalang<=Pkrang<= pode ser escrito como Fk=cupiin IkAk,i para algum subconjunto de índices Ik.

Passo 3

Supondo que para todo escolha de átomos AkinPk valha
Pl(capk=1^nAkr)=prodk=1^nP(Ak),
mostramos então a independência geral: tomamos eventos arbitários Fk=cupiin IkAk,i e escrevemos
Pl(capk=1^nFkr) =Pl(cup(i1,dots,in)in I1timescdotstimes In(A1,i1capcdotscap An,in)r)
Pela aditividade em uniões disjuntas e pela hipótese de fatoração em cada tupla de átomos, fatoramos a soma de produtos e obtemos
Pl(capk=1^nFkr)=sum(i1,dots,in)prodk=1^nP(Ak,ik) =prodk=1^nsumiin IkP(Ak,i) =prodk=1^nP(Fk),
que é exatamente a independência de sigmalang<=P1rang<=,dots,sigmalang<=Pnrang<=.

Passo 4

Para o recíproco, se as σ-álgebras são independentes então, tomando cada evento Fk=Ak (que pertence a sigmalang<=Pkrang<=), a definição de independência dá imediatamente
Pl(capk=1^nAkr)=prodk=1^nP(Ak)

Passo 5

No item (b) queremos mostrar que os conjuntos A1,dots,An são independentes (ou seja, para toda coleção de índices Jsubset1,dots,n vale fatoração) ⇔ vale
Pl(capk=1^nBkr)=prodk=1^nP(Bk)
para toda escolha de Bk sendo ou Ak ou Ak^c. A ideia é notar que qualquer padrão de complementos pode ser obtido aplicando repetidamente a identidade
P(Ak^ccap C)=P(C)-P(Akcap C)
e a hipótese de independência simples para expressar cada termo como produto de probabilidades. Por indução sobre o número de complementos chegamos à fatoração desejada em qualquer escolha de Bk.

Resposta

a) Está provado que as σ-álgebras geradas pelas partições P1,dots,Pn são independentes se e somente se para todo conjunto de átomos AkinPk valha
Pl(capk=1^nAkr)=prodk=1^nP(Ak)
b) Está provado que os conjuntos A1,dots,An são independentes se e somente se para toda escolha de (B_k\in{A_k,A_k^c\

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