a) Para todo
deixe
ser uma partição de
em conjuntos enumeráveis de
. Mostre que as
-álgebras
são independentes se e somente se (1) vale para cada escolha de
em
.
b) Mostre que os conjuntos
são independentes se e somente se
para toda escolha de
como
ou
para
.
b) Mostre que os conjuntos
Passo 1
O enunciado do item (a) nos dá, para cada k=1,…,n, uma partição
de
em átomos (conjuntos) mensuráveis, e quer mostrar que as σ-álgebras geradas por essas partições são independentes ⇔ vale a fatoração da probabilidade em cada escolha de átomos
.
Passo 2
Uma σ-álgebra gerada por uma partição
é exatamente o conjunto de todas as uniões (contáveis) de átomos em
. Ou seja, qualquer evento
pode ser escrito como
para algum subconjunto de índices
.
Passo 3
Supondo que para todo escolha de átomos
valha
mostramos então a independência geral: tomamos eventos arbitários
e escrevemos
Pela aditividade em uniões disjuntas e pela hipótese de fatoração em cada tupla de átomos, fatoramos a soma de produtos e obtemos
que é exatamente a independência de
.
Passo 4
Para o recíproco, se as σ-álgebras são independentes então, tomando cada evento
(que pertence a
), a definição de independência dá imediatamente
Passo 5
No item (b) queremos mostrar que os conjuntos
são independentes (ou seja, para toda coleção de índices
vale fatoração) ⇔ vale
para toda escolha de
sendo ou
ou
. A ideia é notar que qualquer padrão de complementos pode ser obtido aplicando repetidamente a identidade
e a hipótese de independência simples para expressar cada termo como produto de probabilidades. Por indução sobre o número de complementos chegamos à fatoração desejada em qualquer escolha de
.
Resposta
a) Está provado que as σ-álgebras geradas pelas partições
são independentes se e somente se para todo conjunto de átomos
valha
b) Está provado que os conjuntos