Mostre que a composta de funções mensuráveis é mensurável

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, se tivermos duas funções mensuráveis f:(X,𝒜)→(Y,ℬ) e g:(Y,ℬ)→(Z,ℭ), então a composição g∘f:(X,𝒜)→(Z,ℭ) também é mensurável. O conteúdo envolvido é a teoria de funções mensuráveis em espaços mensuráveis e vamos precisar usar a definição de mensurabilidade via pré-imagem de conjuntos.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a definição central: uma função f:(X,𝒜)→(Y,ℬ) é mensurável se, para todo B em ℬ, temos f^{-1}(B)∈𝒜. A mesma ideia vale para g: ela é mensurável se g^{-1}©∈ℬ para todo C em ℭ.

Passo 3

Para mostrar que g∘f é mensurável, basta verificar que, dado qualquer C em ℭ, a pré-imagem (g∘f)^{-1}© pertence a 𝒜. Usamos a propriedade das pré-imagens de composições:
[(g∘f)^{-1}© = f{-1}\\x08igl(g{-1}©\\x08igr)]
Como g é mensurável e C∈ℭ, sabemos que g^{-1}©∈ℬ. Em seguida, como f é mensurável e g^{-1}©∈ℬ, concluímos que
[f{-1}\\x08igl(g{-1}©\\x08igr) ∈ 𝒜].
Logo, para todo C em ℭ temos (g∘f)^{-1}©∈𝒜, o que, pela definição, significa que g∘f é mensurável.

Resposta

A composição g∘f é mensurável.

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