Dado uma família finita de eventos Ai que são independentes mostre que o conjunto Ai^C que é o conjunto de complementos dos eventos originais, também é independente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma família finita de eventos {A_i} é independente, então também a família dos seus complementos {A_i^C} é independente. Vamos usar o conceito de independência de eventos, a propriedade de complemento e o princípio da inclusão-exclusão para unir tudo.

Passo 2

Para uma família finita de eventos {A_i}, dizer que ela é independente significa que, para todo subconjunto finito J de índices, vale a igualdade:
Pl(capjin J Ajr)=prodjin JP(Aj)

Passo 3

Observe que a interseção dos complementos pode ser escrita como o complemento da união:
capjin JAj^C=l(cupjin JAjr)^C
Logo, pela propriedade de complemento, temos
Pl(capjin JAj^Cr)=1 - Pl(cupjin JAjr)

Passo 4

Agora precisamos calcular P(⋃_{j∈J} A_j). Pela fórmula de inclusão-exclusão em uma família finita {A_j},
Pl(cupjin JAjr)=sumemptysetneq Isubseteq J(-1)^|I|-1Pl(capiin IAir)
Como os A_i são independentes, cada termo P(⋂_{i∈I}A_i) se fatoriza:
Pl(capiin IAir)=prodiin IP(Ai)
Isso transforma a soma em expansão do produto (1−P(A_j)):
Pl(cupjin JAjr)=1 - prodjin Jl(1 - P(Aj)r)

Passo 5

Substituindo de volta em P(⋂ A_j^C)=1−P(⋃ A_j), obtemos:
Pl(capjin JAj^Cr)=prodjin Jl(1 - P(Aj)r)
Mas 1−P(A_j)=P(A_j^C), logo
Pl(capjin JAj^Cr)=prodjin JP(Aj^C),
que é exatamente a condição de independência para a família {A_i^C}.

Resposta

Portanto, a família {A_i^C} também é independente.

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