Dado uma família finita de eventos
que são independentes mostre que o conjunto
que é o conjunto de complementos dos eventos originais, também é independente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma família finita de eventos {A_i} é independente, então também a família dos seus complementos {A_i^C} é independente. Vamos usar o conceito de independência de eventos, a propriedade de complemento e o princípio da inclusão-exclusão para unir tudo.
Passo 2
Para uma família finita de eventos {A_i}, dizer que ela é independente significa que, para todo subconjunto finito J de índices, vale a igualdade:
Passo 3
Observe que a interseção dos complementos pode ser escrita como o complemento da união:
Logo, pela propriedade de complemento, temos
Passo 4
Agora precisamos calcular P(⋃_{j∈J} A_j). Pela fórmula de inclusão-exclusão em uma família finita {A_j},
Como os A_i são independentes, cada termo P(⋂_{i∈I}A_i) se fatoriza:
Isso transforma a soma em expansão do produto (1−P(A_j)):
Passo 5
Substituindo de volta em P(⋂ A_j^C)=1−P(⋃ A_j), obtemos:
Mas 1−P(A_j)=P(A_j^C), logo
que é exatamente a condição de independência para a família {A_i^C}.
Resposta
Portanto, a família {A_i^C} também é independente.