2-) Uma bomba acionada diretamente por um motor elétrico, quando gira a 1700 rpm, apresenta as seguintes características: \mathrm{H}=7,0 \mathrm{~m} ; \mathrm{Q}=4,0 \mathrm{l} / \mathrm{s} ; \dot{Y}_{\text {eixo }}=500 \mathrm{~W} e \mathrm{D}=140 \mathrm{~mm} (diâmetro do rotor). Fazendo-a girar a uma velocidade de rotação de 3400 rpm e sabendo-se que a potência máxima admitida pelo motor é de 1000 W , pergunta-se:
(a) Qual é o tipo da bomba em questão?
(b) Haverá sobrecarga no motor? Justifique pelo cálculo da potência para a nova rotação;
(c) Procurando manter a potência no seu limite de 1000 W para a nova rotação ( 3400 rpm ) por meio da troca do rotor da bomba por um outro semelhante, mas de diâmetro diferente, qual será o diâmetro desse novo rotor?
(d) Para esse novo diâmetro, qual será a altura desenvolvida pela bomba?
(e) Qual será a vazão recalcada pela bomba para essa mesma situação?

Passo 1

O enunciado trata de uma bomba acionada por motor elétrico que, à velocidade de rotação inicial n_1=1700\\ \mathrm{rpm}, desenvolve altura \,H_1=7{,}0\\ \mathrm{m}, vazão \,Q_1=4{,}0\\ \mathrm{L/s}, potência no eixo \dot{Y}_{\mathrm{eixo},1}=500\\ \mathrm{W} e tem rotor de diâmetro D_1=140\\ \mathrm{mm}. Quando duplicamos a rotação para n_2=3400\\ \mathrm{rpm}, e sabendo que a potência máxima do motor é 1000\\ \mathrm{W}, pergunta-se:
(a) que tipo de bomba é; (b) se haverá sobrecarga; (c) qual deve ser o novo diâmetro para limitar a potência a 1000\\ \mathrm{W}; (d) que altura passa a desenvolver; (e) qual a nova vazão.
Para resolver, vamos usar as leis de semelhança (affinity laws) para bombas centrífugas:
Q\propto n\,D^3,\quad H\propto n^2\,D^2,\quad P\propto n^3\,D^5.

Passo 2

Tipo de bomba
Como obedecemos às leis de semelhança acima, trata-se de uma bomba centrífuga.

Passo 3

Verificação de sobrecarga
Para velocidade nova n_2 = 2\,n_1, mantendo D=D_1, a potência varia como
\frac{P_2}{P_1}=\biggl(\frac{n_2}{n_1}\biggr)^{3} =2^{3}=8.
Logo
P_2 = 8\cdot500\\ \mathrm{W} = 4000\\ \mathrm{W},
que excede os 1000\\ \mathrm{W} do motor. Portanto haverá sobrecarga.

Passo 4

Cálculo do novo diâmetro
Queremos em n_2 uma potência P_2=1000\\ \mathrm{W}. Usando
\frac{P_2}{P_1} =\Bigl(\frac{n_2}{n_1}\Bigr)^{3}\, \Bigl(\frac{D_2}{D_1}\Bigr)^{5},
temos
\frac{1000}{500} =2 = 2^{3}\,\Bigl(\frac{D_2}{D_1}\Bigr)^{5} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{D_2}{D_1}\Bigr)^{5}=\frac{2}{8}=\tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad \frac{D_2}{D_1}=\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{1/5}\approx0{,}7578.
Como D_1=0{,}14\\ \mathrm{m},
D_2=0{,}14\cdot0{,}7578\approx0{,}106\\ \mathrm{m} \quad\Longrightarrow\quad D_2\approx106\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Altura desenvolvida com o novo diâmetro
As alturas se relacionam por
\frac{H_2}{H_1} =\Bigl(\frac{n_2}{n_1}\Bigr)^{2}\, \Bigl(\frac{D_2}{D_1}\Bigr)^{2} =2^{2}\,(0{,}7578)^{2} =4\cdot0{,}5742 \approx2{,}2968.
Logo
H_2 = 2{,}2968\times7{,}0\\ \mathrm{m}\approx16{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Vazão recalcada com o novo diâmetro
As vazões se relacionam por
\frac{Q_2}{Q_1} =\Bigl(\frac{n_2}{n_1}\Bigr)\, \Bigl(\frac{D_2}{D_1}\Bigr)^{3} =2\,(0{,}7578)^{3} =2\cdot0{,}435\approx0{,}87.
Portanto
Q_2=0{,}87\times4{,}0\\ \mathrm{L/s}\approx3{,}48\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

(a) Bomba centrífuga.
(b) Sim. A potência exigida a 3400\\ \mathrm{rpm} sem mudança de diâmetro seria P_2=4000\\ \mathrm{W}>1000\\ \mathrm{W}.
(c) D_2\approx106\\ \mathrm{mm}.
(d) H_2\approx16{,}1\\ \mathrm{m}.
(e) Q_2\approx3{,}48\\ \mathrm{L/s}.

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