3-) Os dados de uma usina hidrelétrica na qual será instalada na qual será instalada uma turbina hidráulica do tipo Francis são os seguintes: \mathrm{Q}=312 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ; \mathrm{H}=80 \mathrm{~m} . \mathrm{D}_{4}=6,85 \mathrm{~m} ; \mathrm{n}=112,5 \mathrm{rpm} ; \dot{Y}_{\text {eixo }}= 220,28 \mathrm{MW}. No laboratório de ensaios, dispõe-se de um reservatório de nível constante com queda disponível de 6,5 \mathrm{~m} e vazão de 0,08 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Pretendendo-se projetar e ensaiar um modelo reduzido no laboratório, pergunta-se:
(a) Qual deverá ser o diâmetro de entrada do rotor no modelo?
(b) Com que velocidade de rotação deverá ser realizado o ensaio?
(c) Qual a potência que será medida pelo freio dinamométrico, considerando-se o efeito de escala de rendimento?

Passo 1

O enunciado trata do projeto de um modelo reduzido de uma turbina Francis em reservatório de nível constante. Os dados do protótipo são:
– Vazão \mathrm{Q_p}=312\:\mathrm{m^3/s}
– Queda líquida \mathrm{H_p}=80\:\mathrm{m}
– Diâmetro de entrada do rotor \mathrm{D_p}=6{,}85\:\mathrm{m}
– Rotação n_p=112{,}5\:\mathrm{rpm}
– Potência no eixo P_{e,p}=220{,}28\:\mathrm{MW}
No laboratório temos queda disponível \mathrm{H_m}=6{,}5\:\mathrm{m} e vazão \mathrm{Q_m}=0{,}08\:\mathrm{m^3/s}. Para projetar o modelo usaremos a semelhança de Froude, que impõe: \displaystyle \lambda = \frac{L_m}{L_p} = \frac{H_m}{H_p}
e as leis de escala para diâmetro, rotação e potência.

Passo 2

Cálculo da razão de escala \lambda:
\lambda=\frac{H_m}{H_p} =\frac{6{,}5}{80} =0{,}08125.

Passo 3

Diâmetro de entrada do rotor no modelo:
D_m=\lambda\,D_p =0{,}08125\times 6{,}85 \approx 0{,}556\:\mathrm{m}.

Passo 4

Rotação do modelo pela semelhança de Froude:
n_m=n_p\sqrt{\frac{1}{\lambda}} =112{,}5\sqrt{\frac{1}{0{,}08125}} \approx112{,}5\times3{,}507 \approx394{,}6\:\mathrm{rpm}.

Passo 5

Determinação da eficiência do protótipo \eta_p. A potência hidráulica é
P_{h,p}=\rho g\,Q_p\,H_p,
com \rho=1000\:\mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\:\mathrm{m/s^2}, logo
P_{h,p} =1000\times9{,}81\times312\times80 =2{,}448576\times10^8\:\mathrm{W}.
Então
\eta_p=\frac{P_{e,p}}{P_{h,p}} =\frac{220{,}28\times10^6}{2{,}448576\times10^8} \approx0{,}900.

Passo 6

Efeito de escala no rendimento (perdas de atrito que crescem com \lambda^{-3/8}):
\eta_m =1-(1-\eta_p)\,\lambda^{-\tfrac{3}{8}} =1-0{,}1\times(0{,}08125)^{-\tfrac{3}{8}} \approx1-0{,}1\times2{,}564 \approx0{,}7436.

Passo 7

Potência medida pelo freio dinamométrico no modelo:
P_{e,m} =\rho g\,Q_m\,H_m\,\eta_m =1000\times9{,}81\times0{,}08\times6{,}5\times0{,}7436 \approx3{,}79\times10^3\:\mathrm{W} =3{,}79\:\mathrm{kW}.

Resposta

(a) D_m\approx0{,}556\:\mathrm{m}
(b) n_m\approx394{,}6\:\mathrm{rpm}
(c) P_{e,m}\approx3{,}79\:\mathrm{kW}

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