4-) O rotor de uma bomba radial projetada para recalcar 2,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água a uma altura de 35 m possui um diâmetro de saída \mathrm{D}_{5}=1,0 \mathrm{~m}. A velocidade de rotação de projeto é de 500 rpm . Um modelo reduzido dessa bomba, construído com um rotor de diâmetro D_{5 m}=0,40 \mathrm{~m} e ensaiado com uma
velocidade de rotação de 900 rpm , consumiu uma potência no eixo de \dot{Y}_{\text {eixo, } m}=65 \mathrm{~kW}. Levando em consideração o efeito de escala sobre o rendimento, determinar:
(a) A velocidade de rotação específica do modelo;
(b) A vazão do modelo;
(c) A altura de elevação do modelo;
(d) O rendimento previsto para a bomba projetada;
(e) A potência no eixo da bomba projetada.

Passo 1

O enunciado trata da similaridade de uma bomba radial e pede, para o modelo e para a projeção da bomba real, o uso das leis de semelhança (afinidade) e a correção do rendimento pelo efeito de escala (diferença de Reynolds). Precisaremos de:
– Leis de afinidade:
\frac{Q_m}{Q}=\frac{N_m}{N}\Bigl(\frac{D_m}{D}\Bigr)^3, \quad \frac{H_m}{H}=\Bigl(\frac{N_m}{N}\Bigr)^2\Bigl(\frac{D_m}{D}\Bigr)^2,
\frac{P_m}{P}=\Bigl(\frac{N_m}{N}\Bigr)^3\Bigl(\frac{D_m}{D}\Bigr)^5.
– Definição de velocidade de rotação específica:
N_s=\frac{N\,\sqrt{Q}}{H^{3/4}}.
– Rendimento do modelo \eta_m=P_{\rm hidráulica,m}/P_{eixo,m}á.
– Correção de rendimento pelo efeito de Reynolds:
1-\eta_p=\bigl(1-\eta_m\bigr)\Bigl(\frac{\mathrm{Re}_m}{\mathrm{Re}_p}\Bigr)^{a},
com a\approx0{,}2 e
\frac{\mathrm{Re}_m}{\mathrm{Re}_p} =\frac{N_m\,D_m^2}{N\,D^2}.
– Cálculo da potência no eixo da bomba projetada:
P_{eixo}=\frac{\rho\,g\,Q\,H}{\eta_p}.

Passo 2

Calculando a vazão e a altura no modelo pelas leis de afinidade:
Dados: Q=2{,}0\;\mathrm{m^3/s}, H=35\;\mathrm{m}, D=1{,}0\;\mathrm{m}, Q_m=?,\\ H_m=?, D_m=0{,}40\;\mathrm{m}, N=500\;\mathrm{rpm}, N_m=900\;\mathrm{rpm}.
Q_m =Q\;\frac{N_m}{N}\Bigl(\frac{D_m}{D}\Bigr)^3 =2{,}0\;\frac{900}{500}(0{,}4)^3 =2{,}0\cdot1{,}8\cdot0{,}064 =0{,}2304\;\mathrm{m^3/s}.
H_m =H\;\Bigl(\frac{N_m}{N}\Bigr)^2\Bigl(\frac{D_m}{D}\Bigr)^2 =35\;(1{,}8)^2\;(0{,}4)^2 =35\cdot3{,}24\cdot0{,}16 \approx18{,}144\;\mathrm{m}.

Passo 3

Velocidade de rotação específica do modelo \displaystyle N_{s,m}=N_m\,\sqrt{Q_m}\,/H_m^{3/4}.
\sqrt{Q_m}=\sqrt{0{,}2304}=0{,}48, \quad H_m^{3/4}\approx18{,}144^{0{,}75}\approx8{,}79,
N_{s,m} =\frac{900\cdot0{,}48}{8{,}79} \approx49{,}1 \quad\text{(unidades rpm\cdot(m^{3}/s)^{1/2}/m^{3/4})}.

Passo 4

Rendimento do modelo \eta_m a partir da potência hidráulica e da potência no eixo:
P_{\rm hid,m}=\rho\,g\,Q_m\,H_m =1000\cdot9,81\cdot0{,}2304\cdot18{,}144 \approx41\,030\;\mathrm{W},
\eta_m=\frac{P_{\rm hid,m}}{P_{eixo,m}} =\frac{41\,030}{65\,000} \approx0{,}631\;(63{,}1\%).

Passo 5

Correção do rendimento pelo efeito de escala (diferença de Reynolds), com expoente a=0{,}2:
\frac{\mathrm{Re}_m}{\mathrm{Re}_p} =\frac{N_m\,D_m^2}{N\,D^2} =\frac{900\cdot(0{,}4)^2}{500\cdot1^2} =0{,}288,
1-\eta_p =(1-\eta_m)\,(0{,}288)^{0{,}2} =0{,}369\cdot0{,}78 \approx0{,}288,
\eta_p =1-0{,}288 =0{,}712\;(71{,}2\%).

Passo 6

Potência no eixo da bomba projetada:
P_{eixo} =\frac{\rho\,g\,Q\,H}{\eta_p} =\frac{1000\cdot9,81\cdot2{,}0\cdot35}{0{,}712} \approx964\,000\;\mathrm{W} =964\;\mathrm{kW}.

Resposta

(a) N_{s,m}\approx49{,}1 (rpm·( m^{3}/s)^{1/2}/ m^{3/4}).
(b) Q_m\approx0{,}2304\;\mathrm{m^3/s}.
(c) H_m\approx18{,}144\;\mathrm{m}.
(d) \eta_p\approx0{,}712 (71,2 %).
(e) P_{eixo}\approx964\;\mathrm{kW}.

Exercícios relacionados