Uma bomba axial apresenta as seguintes características: D e=300 \mathrm{~mm}, D i / D e=0,4, N_{p a ́}=4, f e_{4 m}=0,96, f e_{5 m}=0,96, \quad \beta_{4 m}=25^{\circ}, \quad \beta_{5 m}=35^{\circ}, \quad n=1750 \mathrm{rpm}, comprimento da pá na direção axial igual a 120 mm e \eta_{h}=88 \%. Calcule: (a) Os valores de todos os componentes dos triângulos de velocidades, para a entrada e saída do rotor, nos casos de escoamentos ideal e real. (b) Os trabalhos específicos ideal e real do rotor. (c) O trabalho específico real da bomba.

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Os valores de todos os componentes dos triângulos de velocidades, para a entrada e saída do rotor, nos casos de escoamentos ideal e real.
  • (b) Os trabalhos específicos ideal e real do rotor.
  • (c) O trabalho específico real da bomba.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como dados do enunciado):
D_e=300\\ \mathrm{mm},\qquad \frac{D_i}{D_e}=0{,}4,\qquad N_{pá}=4,á
f_{e4m}=0{,}96,\qquad f_{e5m}=0{,}96,\qquad \beta_{4m}=25^\circ,\qquad \beta_{5m}=35^\circ,
n=1750\\ \mathrm{rpm},\qquad \text{comprimento axial da pá}=120\\ \mathrm{mm},\qquad \eta_h=88\%.á
Observações (apenas listagem dos dados; sem iniciar a solução aqui): todos os números acima serão usados para calcular os triângulos e os trabalhos.

Passo 2

Primeiro calculemos as quantidades geométricas e a velocidade periférica média U no raio médio.
  • Diâmetro interno:
D_i = 0{,}4\;D_e = 0{,}4\cdot 300\\ \mathrm{mm}=120\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro médio (médio geométrico simples por média aritmética usada aqui):
D_m=\frac{D_e+D_i}{2}=\frac{300+120}{2}=210\\ \mathrm{mm}.
  • Raio médio:
r_m=\frac{D_m}{2}=105\\ \mathrm{mm}=0{,}105\\ \mathrm{m}.
  • velocidade angular \omega:
\omega = 2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{1750}{60}\\ \mathrm{rad/s}.
Calculemos numericamente:
\omega \approx 183{,}2596\\ \mathrm{rad/s}.
  • velocidade periférica média U:
U=\omega r_m \approx 183{,}2596\cdot 0{,}105\\ \mathrm{m/s}\approx 19{,}243\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Relembrando (mini-aula sobre triângulos de velocidade e notação):
  • C é a velocidade absoluta do fluido; seus componentes: C_a (axial) e C_u (tangencial/ circumferencial).
  • U é a velocidade da pá (do quadro) no raio considerado.
  • W é a velocidade relativa do fluido em relação à pá: \mathbf{W}=\mathbf{C}-\mathbf{U}. Seus componentes W_a=C_a (mesmo componente axial) e W_u=C_u-U.
  • O ângulo relativo da pá \beta é o ângulo entre W e a direção axial, de modo que
\tan\beta=\frac{W_u}{W_a}=\frac{C_u-U}{C_a}.
  • No caso típico de entrada axial (esforço axially uniform), assumimos C_{u4}=0 (fluxo axial sem rotação antes do rotor). Com isso, a equação para a entrada torna-se
\tan\beta_{4}=\frac{-U}{C_{a}}\quad\text{(módulo)}\quad\Rightarrow\quad C_a=\frac{U}{\tan\beta_{4}}.ó
Essa expressão nos permite obter C_a (velocidade axial) a partir do ângulo \beta_{4m} e de U.
Agora calculemos C_a numericamente usando \beta_{4m}=25^\circ:
\tan 25^\circ \approx 0{,}4663077,
C_a=\frac{U}{\tan25^\circ}\approx\frac{19{,}243}{0{,}4663077}\approx 41{,}276\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Triângulo de velocidades na entrada do rotor (estação 4) — caso ideal:
  • Comportamentos e fórmulas:
    • C_{a4}=C_a.
    • C_{u4}=0 (assunção de escoamento axial na entrada).
    • W_{u4}=C_{u4}-U=-U.
    • W_{a4}=C_{a4}=C_a.
    • Módulo de W_4: W_4=\sqrt{W_{u4}^2+W_{a4}^2}.
    • Ângulo relativo \beta_4=\arctan\!\left(\dfrac{|W_{u4}|}{W_{a4}}\right) (deve dar 25^\circ).
  • Valores numéricos:
C_{a4}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},\qquad C_{u4}=0\\ \mathrm{m/s},
W_{u4}=-19{,}243\\ \mathrm{m/s},\qquad W_{a4}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},
W_4=\sqrt{(-19{,}243)^2+(41{,}276)^2}\approx 45{,}553\\ \mathrm{m/s},
\beta_4=\arctan\!\left(\frac{19{,}243}{41{,}276}\right)=25^\circ\\ (\text{consistente com dado}).

Passo 5

Triângulo de velocidades na saída do rotor (estação 5) — caso ideal:
  • Fórmula relacionando o ângulo relativo \beta_5 e as velocidades:
\tan\beta_5=\frac{W_{u5}}{W_{a5}}=\frac{C_{u5}-U}{C_a}.
Isolando C_{u5}:
C_{u5}=U + C_a\tan\beta_5.
  • Calculemos numericamente com \beta_{5m}=35^\circ ( \tan35^\circ\approx 0{,}7002075):
C_{u5}=19{,}243 + 41{,}276\cdot 0{,}7002075\approx 48{,}136\\ \mathrm{m/s}.
  • Componentes do triângulo de saída (ideal):
C_{a5}=C_a=41{,}276\\ \mathrm{m/s},\qquad C_{u5}=48{,}136\\ \mathrm{m/s},
W_{u5}=C_{u5}-U=48{,}136-19{,}243=28{,}893\\ \mathrm{m/s},
W_{a5}=C_{a5}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},
W_5=\sqrt{28{,}893^2+41{,}276^2}\approx 50{,}386\\ \mathrm{m/s},
\beta_5=\arctan\!\left(\frac{28{,}893}{41{,}276}\right)=35^\circ\\ (\text{consistente com dado}).

Passo 6

Cálculo do trabalho específico ideal do rotor (fórmula de Euler para turbomáquinas):
  • A variação específica de energia (por unidade de massa) fornecida pelo rotor (formulação ideal/Euler) é
\Delta h_{\text{ideal}} = U\,(C_{u5}-C_{u4}).
  • Como C_{u4}=0, isso simplifica para
\Delta h_{\text{ideal}}=U\,C_{u5}.
  • Numericamente:
\Delta h_{\text{ideal}} \approx 19{,}243\cdot 48{,}136 \approx 926{,}79\\ \mathrm{J/kg}.
Breve interpretação: esse é o trabalho por unidade de massa indicado pela equação teórica de Euler (energia angularideal transferida ao fluido).

Passo 7

Construindo os triângulos de escoamento real: interpretação dos fatores f_{e4m} e f_{e5m} e escolha do método (explicação didática):
  • O enunciado fornece f_{e4m}=0{,}96 e f_{e5m}=0{,}96. Em turbomáquinas costuma-se usar fatores próximos de 1 como correção do componente tangencial devido a deslizamento (slip) e efeitos reais das pás. Uma forma prática e comum em exercícios é interpretar f_{e5m} como um fator de correção (slip factor) que reduz o componente tangencial absoluto ideal na saída: C_{u5,\text{real}}=f_{e5m}\,C_{u5,\text{ideal}}. Para a entrada, C_{u4}=0 e multiplicar por f_{e4m} não altera nada (permanece zero).
  • Adoto essa interpretação (justificativa prática: os fatores são muito próximos de 1, e a forma usual de corrigir o triângulo é reduzir o componente de rotação efetivo na saída). Se houvesse definição diferente no enunciado usaríamos outra fórmula, mas essa é a mais comum em problemas didáticos.
Aplicando f_{e5m}=0{,}96:
C_{u5,\text{real}} = 0{,}96\cdot 48{,}136 \approx 46{,}269\\ \mathrm{m/s}.
No inlet C_{u4,\text{real}}=0 (permanece 0).

Passo 8

Triângulos de velocidades reais (com correção f_{e5m}) — valores numéricos:
  • Entrada (real): igual ao ideal, pois C_{u4}=0:
C_{a4,\text{real}}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},\qquad C_{u4,\text{real}}=0,
W_{u4,\text{real}}=-19{,}243\\ \mathrm{m/s},\qquad W_{a4,\text{real}}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},
W_{4,\text{real}}\approx 45{,}553\\ \mathrm{m/s},\qquad \beta_{4,\text{real}}=25^\circ.
  • Saída (real) usando C_{u5,\text{real}}=46{,}269\\ \mathrm{m/s}:
C_{a5,\text{real}}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},\qquad C_{u5,\text{real}}=46{,}269\\ \mathrm{m/s},
W_{u5,\text{real}}=46{,}269-19{,}243=27{,}027\\ \mathrm{m/s},
W_{a5,\text{real}}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},
W_{5,\text{real}}=\sqrt{27{,}027^2+41{,}276^2}\approx 49{,}336\\ \mathrm{m/s},
\beta_{5,\text{real}}=\arctan\!\left(\frac{27{,}027}{41{,}276}\right)\approx 33{,}2^\circ.

Passo 9

Trabalho específico real do rotor (com o fator de correção aplicado) — usando novamente a fórmula de Euler, agora com C_{u5,\text{real}}:
\Delta h_{\text{rotor, real (slip)}}=U\,(C_{u5,\text{real}}-C_{u4,\text{real}})=U\,C_{u5,\text{real}}.
Numericamente:
\Delta h_{\text{rotor, real (slip)}}\approx 19{,}243\cdot 46{,}269\approx 890{,}08\\ \mathrm{J/kg}.
Observação: essa é a energia efetiva calculada considerando o deslizamento (slip) representado por f_{e5m}. Ainda existe a eficiência hidráulica \eta_h que relaciona a energia real que o fluido efetivamente ganha à energia teórica de Euler.

Passo 10

Cálculo do trabalho específico real da bomba usando a eficiência hidráulica \eta_h:
  • Interpretação padrão de \eta_h (em problemas teóricos): \eta_h relaciona a elevação real de energia por unidade de massa ao valor teórico de Euler:
\eta_h=\frac{\Delta h_{\text{bomba, real}}}{\Delta h_{\text{ideal}}} \quad\Rightarrow\quad \Delta h_{\text{bomba, real}}=\eta_h\;\Delta h_{\text{ideal}}.
  • Usando \eta_h=0{,}88 e \Delta h_{\text{ideal}}\approx 926{,}79\\ \mathrm{J/kg}:
\Delta h_{\text{bomba, real}}=0{,}88\cdot 926{,}79\approx 815{,}37\\ \mathrm{J/kg}.
Comentário final rápido: portanto obtivemos (i) triângulos de velocidade ideais e corrigidos (reais), (ii) trabalho ideal de Euler, (iii) trabalho real estimado pelo slip e (iv) trabalho real da bomba aplicando a eficiência hidráulica indicada. Se você preferir que eu apresente os triângulos em forma de desenho ou em tabela com mais casas decimais, eu faço; aqui mantive valores arredondados com 3 algarismos significativos para ficar legível.

Resposta

(a) Triângulos de velocidades (valores arredondados):\nIdeal — Entrada (estação 4): C_{a4}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},\;C_{u4}=0\\ \mathrm{m/s},\;W_{u4}=-19{,}243\\ \mathrm{m/s},\;W_4=45{,}553\\ \mathrm{m/s},\;\beta_4=25^\circ.\nIdeal — Saída (estação 5): C_{a5}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},\;C_{u5}=48{,}136\\ \mathrm{m/s},\;W_{u5}=28{,}893\\ \mathrm{m/s},\;W_5=50{,}386\\ \mathrm{m/s},\;\beta_5=35^\circ.\nReal (com correção f_{e5m}=0{,}96) — Entrada: idem ao ideal (pois C_{u4}=0).\nReal — Saída: C_{a5,\text{real}}=41{,}276\\ \mathrm{m/s},\;C_{u5,\text{real}}=46{,}269\\ \mathrm{m/s},\;W_{u5,\text{real}}=27{,}027\\ \mathrm{m/s},\;W_{5,\text{real}}=49{,}336\\ \mathrm{m/s},\;\beta_{5,\text{real}}\approx 33{,}2^\circ.\n(b) Trabalhos específicos do rotor:\nIdeal (Euler teórico): \Delta h_{\text{ideal}}\approx 926{,}79\\ \mathrm{J/kg}.\nReal (com correção de slip f_{e5m}=0{,}96): \Delta h_{\text{rotor, real}}\approx 890{,}08\\ \mathrm{J/kg}.\n(c) Trabalho específico real da bomba (usando \eta_h=0{,}88): \Delta h_{\text{bomba, real}}\approx 815{,}37\\ \mathrm{J/kg}.

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