Um rotor de ventilador centrífugo apresenta as seguintes características:
,
,
e
. Plote, em um único gráfico, os trabalhos específicos ideal e real do rotor em função da vazão do rotor,
, utilizando a expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (Exercício 10) para a determinação do trabalho específico real do rotor.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça, em um único gráfico, os trabalhos específicos ideal e real do rotor em função da vazão do rotor
, usando a expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (conforme o Exercício 10) para calcular o trabalho específico real.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
O pedido é: traçar
(trabalho específico ideal) e
(trabalho específico real) num mesmo gráfico, usando a expressão de Eck para obter
.
Observação importante: o enunciado manda usar “a expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (Exercício 10)”. Essa expressão não foi enviada junto com o enunciado que você me deu.
Observação importante: o enunciado manda usar “a expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (Exercício 10)”. Essa expressão não foi enviada junto com o enunciado que você me deu.
Passo 2
Por que eu não posso imediatamente entregar as curvas numéricas (o gráfico) sem informação adicional: a determinação numérica do trabalho real requer explicitamente a fórmula do fator de deficiência de potência de Eck (o enunciado remete ao Exercício 10). Como essa expressão não foi entregue aqui, não é possível calcular numericamente o trabalho real. Posso, contudo, fazer tudo o resto: derivar a expressão do trabalho ideal em função de
, calcular constantes numéricas, e mostrar exatamente onde e como a expressão de Eck entra para obter
. Assim, quando você me passar a expressão de Eck (ou confirmar que eu posso usar uma forma assumida), eu preparo imediatamente os cálculos e o gráfico.
Passo 3
Explicação didática do conceito e da fórmula fundamental que usamos (a “aula mastigada”): o trabalho específico ideal fornecido por um rotor (equação de Euler para turbomáquinas) é dado por
onde:
-
é a velocidade periférica (tangencial) das pás no raio , isto é ; -
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na seção (subscritos 4 = entrada, 5 = saída); -
é a velocidade angular em rad/s; é o raio correspondente (metade do diâmetro).
Explicando as velocidades relativas e os ângulos das pás: o triângulo de velocidades relaciona a velocidade meridional (ou radial)à componente tangencial da velocidade relativa por
A componente tangencial absoluta
se obtém somando a velocidade da pá
com a componente tangencial relativa
:
Observação sobre sinais: aqui adotei a convenção usual em que as grandezas estão orientadas de modo que as somas acima são consistentes com a rotação e o sentido do escoamento (essa convenção é a usual em exercícios didáticos; se seu enunciado usar sinais diferentes eu ajusto).
Passo 4
Calcular grandezas geométricas e a velocidade angular (faço contas para você poder reproduzir sem calculadora):
Raízes e velocidades periféricas:
Esses valores exatos em termos de
são convenientes para contas à mão; numericamente
e
.
Passo 5
Relacionar a vazão
com as velocidades meridionais nas seções 4 e 5 (continuidade): a área de escoamento em cada seção cilíndrica do rotor pode ser aproximada por
assumindo que o escoamento ocupa localmente a área lateral do anel em torno do rotor (esta é a aproximação padrão em exercícios de ventiladores centrífugos quando não se dá outra geometria). Assim:
Agora insiro os valores numéricos de
e
(convertendo luas para metros):
Portanto
onde
em
dá
em
.
Passo 6
Expressar as componentes tangenciais relativas e absolutas em função de
usando os ângulos das pás:
Calculei os coeficientes numéricos (faça assim na prova: substitua valores constantes e simplifique):
onde
está em
. Assim as componentes tangenciais absolutas:
(Expliquei passo a passo: primeiro achar
, depois
, depois
, e aí
.)
Passo 7
Montar a expressão do trabalho específico ideal em função de
substituindo
e
na equação de Euler:
Substituindo
e as expressões de
obtemos (faça essas substituições na prova da mesma forma):
Desenvolvendo e juntando termos constantes e termos em
:
Calculando os números:
Portanto a expressão numérica conveniente é
Interpretação física rápida: aqui o trabalho ideal diminui linearmente com a vazão (na aproximação usada), porque ao aumentar
as componentes tangenciais mudam de modo a reduzir o produto
.
Passo 8
Como usar o fator de deficiência de potência segundo Eck para obter o trabalho real (a parte que depende do Exercício 10): em termos gerais o efeito da deficiência de potência é introduzido por um fator adimensional
(que pode depender de
, da folga
, do número de pás
, da razão
, dos ângulos
, etc.). A forma operacional habitual é uma destas duas formas (vou escrever as duas formas correntes e explicar que uma delas será a que o Exercício 10 define):
forma multiplicativa:
forma multiplicativa:
ou forma aditiva:
onde
é o decaimento absoluto de trabalho devido às perdas modeladas por Eck. Para aplicar numericamente, preciso da expressão explícita de
ou
dada no Exercício 10 (por exemplo, algo do tipo
ou uma expressão com dependência em
). Sem essa expressão não dá para computar
.
Passo 9
Instruções práticas para gerar o gráfico assim que eu tiver a expressão de Eck (passo a passo que você pode usar na prova ou em casa):
- Escolha um intervalo prático de
(por exemplo de até um valor máximo do ventilador — se não souber, escolha um intervalo com 20–30 pontos, por exemplo ou outro mais adequado ao seu equipamento). - Para cada ponto
: calcular com as fórmulas do Passo 5; calcular pelo Passo 6; obter ; então calcular com a fórmula do Passo 7. - Avaliar a expressão de Eck (que você deverá me passar) para obter
ou . - Calcular
pela forma multiplicativa ou aditiva indicada no Exercício 10. - Traçar num mesmo gráfico
no eixo e , no eixo . Use título, legendas e unidades (J/kg para o trabalho específico).
Se quiser, eu já monto um script (por exemplo em Python/matplotlib) pronto para você rodar: eu só preciso da expressão de Eck (ou da permissão para assumir uma forma típica).
Resumo final do que falta
- O enunciado remete explicitamente à “expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (Exercício 10)”. Essa expressão não foi fornecida aqui; sem ela não posso calcular numericamente nem traçar a curva de
. - Já derivei e dei a expressão numérica do trabalho ideal:
- Para completar (trabalho real e gráfico) preciso da fórmula de Eck do Exercício 10. Se você colar aqui a expressão de Eck, eu faço os cálculos numéricos e te entrego o gráfico e uma explicação passo a passo de como foi gerado (e o código, se quiser).
Resposta
Não é possível calcular numericamente nem traçar o trabalho específico real
porque a expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (Exercício 10) não foi fornecida.