Um rotor de ventilador centrífugo apresenta as seguintes características: n=3000 \mathrm{rpm} \quad D_{4}=220 \mathrm{~mm}, D_{5}=420 \mathrm{~mm}, ~ N_{p a ́}=10, ~ b_{4}=58 \mathrm{~mm}, ~ b_{5}=32 \mathrm{~mm}, \beta_{4}=30^{\circ}, \beta_{5}=50^{\circ} e e=3 \mathrm{~mm}. Plote, em um único gráfico, os trabalhos específicos ideal e real do rotor em função da vazão do rotor, \dot{V}_{R}, utilizando a expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (Exercício 10) para a determinação do trabalho específico real do rotor.

Passo 1

O enunciado pede que eu faça, em um único gráfico, os trabalhos específicos ideal e real do rotor em função da vazão do rotor \dot{V}_{R}, usando a expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (conforme o Exercício 10) para calcular o trabalho específico real.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
n=3000\\ \text{rpm},\quad D_{4}=220\\ \text{mm},\quad D_{5}=420\\ \text{mm},
N_{\text{pá}}=10,\quad b_{4}=58\\ \text{mm},\quad b_{5}=32\\ \text{mm},á
\beta_{4}=30^\circ,\quad \beta_{5}=50^\circ,\quad e=3\\ \text{mm}.
O pedido é: traçar w_{t,\text{id}}(\dot V_R) (trabalho específico ideal) e w_{t,\text{real}}(\dot V_R) (trabalho específico real) num mesmo gráfico, usando a expressão de Eck para obter w_{t,\text{real}}.
Observação importante: o enunciado manda usar “a expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (Exercício 10)”. Essa expressão não foi enviada junto com o enunciado que você me deu.

Passo 2

Por que eu não posso imediatamente entregar as curvas numéricas (o gráfico) sem informação adicional: a determinação numérica do trabalho real requer explicitamente a fórmula do fator de deficiência de potência de Eck (o enunciado remete ao Exercício 10). Como essa expressão não foi entregue aqui, não é possível calcular numericamente o trabalho real. Posso, contudo, fazer tudo o resto: derivar a expressão do trabalho ideal em função de \dot V_R, calcular constantes numéricas, e mostrar exatamente onde e como a expressão de Eck entra para obter w_{t,\text{real}}. Assim, quando você me passar a expressão de Eck (ou confirmar que eu posso usar uma forma assumida), eu preparo imediatamente os cálculos e o gráfico.

Passo 3

Explicação didática do conceito e da fórmula fundamental que usamos (a “aula mastigada”): o trabalho específico ideal fornecido por um rotor (equação de Euler para turbomáquinas) é dado por
w_{t,\text{id}} = u_5\,c_{u5} - u_4\,c_{u4},
onde:
  • u_i é a velocidade periférica (tangencial) das pás no raio r_i, isto é u_i=\omega r_i;
  • c_{ui} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na seção i (subscritos 4 = entrada, 5 = saída);
  • \omega é a velocidade angular em rad/s; r_i é o raio correspondente (metade do diâmetro).
    Explicando as velocidades relativas e os ângulos das pás: o triângulo de velocidades relaciona a velocidade meridional (ou radial) c_{m} à componente tangencial da velocidade relativa w_u por
\tan\beta = \frac{c_m}{w_u}\quad\Longrightarrow\quad w_u=\frac{c_m}{\tan\beta}.
A componente tangencial absoluta c_u se obtém somando a velocidade da pá u com a componente tangencial relativa w_u:
c_u = u + w_u.
Observação sobre sinais: aqui adotei a convenção usual em que as grandezas estão orientadas de modo que as somas acima são consistentes com a rotação e o sentido do escoamento (essa convenção é a usual em exercícios didáticos; se seu enunciado usar sinais diferentes eu ajusto).

Passo 4

Calcular grandezas geométricas e a velocidade angular (faço contas para você poder reproduzir sem calculadora):
n=3000\\ \text{rpm}=50\\ \text{rev/s}\quad\Rightarrow\quad \omega=2\pi n=100\pi\\ \text{rad/s}.
Raízes e velocidades periféricas:
r_4=\frac{D_4}{2}=0{,}110\\ \text{m},\quad r_5=\frac{D_5}{2}=0{,}210\\ \text{m}.
u_4=\omega r_4=100\pi\cdot 0{,}110 = 11\pi\\ \text{m/s},
u_5=\omega r_5=100\pi\cdot 0{,}210 = 21\pi\\ \text{m/s}.
Esses valores exatos em termos de \pi são convenientes para contas à mão; numericamente u_4\approx 34{,}56\\ \text{m/s} e u_5\approx 65{,}97\\ \text{m/s}.

Passo 5

Relacionar a vazão \dot V_R com as velocidades meridionais nas seções 4 e 5 (continuidade): a área de escoamento em cada seção cilíndrica do rotor pode ser aproximada por
A_i = 2\pi r_i b_i,
assumindo que o escoamento ocupa localmente a área lateral do anel em torno do rotor (esta é a aproximação padrão em exercícios de ventiladores centrífugos quando não se dá outra geometria). Assim:
c_{m4} = \frac{\dot V_R}{A_4}=\frac{\dot V_R}{2\pi r_4 b_4},\qquad c_{m5} = \frac{\dot V_R}{A_5}=\frac{\dot V_R}{2\pi r_5 b_5}.
Agora insiro os valores numéricos de A_4 e A_5 (convertendo luas para metros):
b_4=58\\ \text{mm}=0{,}058\\ \text{m},\quad b_5=32\\ \text{mm}=0{,}032\\ \text{m}.
A_4 = 2\pi(0{,}110)(0{,}058)=0{,}040084\\ \text{m}^2,\qquad A_5 = 2\pi(0{,}210)(0{,}032)=0{,}042217\\ \text{m}^2.
Portanto
c_{m4}=\frac{\dot V_R}{0{,}040084},\qquad c_{m5}=\frac{\dot V_R}{0{,}042217},
onde \dot V_R em \mathrm{m^3/s} c_{m} em \mathrm{m/s}.

Passo 6

Expressar as componentes tangenciais relativas e absolutas em função de \dot V_R usando os ângulos das pás:
\tan\beta_4=\tan 30^\circ=0{,}57735,\qquad \tan\beta_5=\tan 50^\circ\approx 1{,}19175.
w_{u4}=\frac{c_{m4}}{\tan\beta_4}=\frac{\dot V_R}{0{,}040084\cdot \tan 30^\circ}, \qquad w_{u5}=\frac{c_{m5}}{\tan\beta_5}=\frac{\dot V_R}{0{,}042217\cdot \tan 50^\circ}.
Calculei os coeficientes numéricos (faça assim na prova: substitua valores constantes e simplifique):
w_{u4}\approx 43{,}18\,\dot V_R\\ (\text{m/s}),\qquad w_{u5}\approx 19{,}89\,\dot V_R\\ (\text{m/s}),
onde \dot V_R está em \mathrm{m^3/s}. Assim as componentes tangenciais absolutas:
c_{u4}=u_4+w_{u4}=11\pi + 43{,}18\,\dot V_R,
c_{u5}=u_5+w_{u5}=21\pi + 19{,}89\,\dot V_R.
(Expliquei passo a passo: primeiro achar A_i, depois c_{mi}, depois w_{ui}=c_{mi}/\tan\beta_i, e aí c_{ui}=u_i+w_{ui}.)

Passo 7

Montar a expressão do trabalho específico ideal em função de \dot V_R substituindo u_i e c_{ui} na equação de Euler:
w_{t,\text{id}}(\dot V_R)=u_5\,c_{u5}-u_4\,c_{u4}.
Substituindo u_4=11\pi,\\ u_5=21\pi e as expressões de c_{u4},c_{u5} obtemos (faça essas substituições na prova da mesma forma):
w_{t,\text{id}}(\dot V_R)=21\pi\bigl(21\pi+19{,}89\,\dot V_R\bigr)-11\pi\bigl(11\pi+43{,}18\,\dot V_R\bigr).
Desenvolvendo e juntando termos constantes e termos em \dot V_R:
w_{t,\text{id}}(\dot V_R)=320\pi^2 + \pi\bigl(21\cdot 19{,}89 - 11\cdot 43{,}18\bigr)\dot V_R.
Calculando os números:
320\pi^2 \approx 3158{,}27\\ \text{J/kg},\qquad \pi\bigl(21\cdot 19{,}89 - 11\cdot 43{,}18\bigr)\approx -180{,}12.
Portanto a expressão numérica conveniente é
\boxed{\,w_{t,\text{id}}(\dot V_R)\approx 3158{,}27 - 180{,}12\\ \dot V_R\\ } \quad(\text{J/kg, com }\dot V_R\text{ em m}^3\!/\text{s}).
Interpretação física rápida: aqui o trabalho ideal diminui linearmente com a vazão (na aproximação usada), porque ao aumentar \dot V_R as componentes tangenciais mudam de modo a reduzir o produto u c_u.

Passo 8

Como usar o fator de deficiência de potência segundo Eck para obter o trabalho real (a parte que depende do Exercício 10): em termos gerais o efeito da deficiência de potência é introduzido por um fator adimensional \delta_{\text{Eck}} (que pode depender de \dot V_R, da folga e, do número de pás N_{\text{pá}}á, da razão e/b, dos ângulos \beta, etc.). A forma operacional habitual é uma destas duas formas (vou escrever as duas formas correntes e explicar que uma delas será a que o Exercício 10 define):
forma multiplicativa:
w_{t,\text{real}}(\dot V_R) = \bigl(1 - \delta_{\text{Eck}}(\dot V_R)\bigr)\; w_{t,\text{id}}(\dot V_R),
ou forma aditiva:
w_{t,\text{real}}(\dot V_R) = w_{t,\text{id}}(\dot V_R) - \Delta w_{\text{def}}(\dot V_R),
onde \Delta w_{\text{def}} é o decaimento absoluto de trabalho devido às perdas modeladas por Eck. Para aplicar numericamente, preciso da expressão explícita de \delta_{\text{Eck}} ou \Delta w_{\text{def}} dada no Exercício 10 (por exemplo, algo do tipo \delta_{\text{Eck}}=f\bigl(N_{\text{pá}},e/b,\beta_5,\dots\bigr)á ou uma expressão com dependência em \dot V_R). Sem essa expressão não dá para computar w_{t,\text{real}}.

Passo 9

Instruções práticas para gerar o gráfico assim que eu tiver a expressão de Eck (passo a passo que você pode usar na prova ou em casa):
  1. Escolha um intervalo prático de \dot V_R (por exemplo de 0 até um valor máximo do ventilador — se não souber, escolha um intervalo com 20–30 pontos, por exemplo \dot V_R\in[0,\,0{,}2]\\ \mathrm{m^3/s} ou outro mais adequado ao seu equipamento).
  2. Para cada ponto \dot V_R: calcular c_{m4},c_{m5} com as fórmulas do Passo 5; calcular w_{u4},w_{u5} pelo Passo 6; obter c_{u4},c_{u5}; então calcular w_{t,\text{id}}(\dot V_R) com a fórmula do Passo 7.
  3. Avaliar a expressão de Eck (que você deverá me passar) para obter \delta_{\text{Eck}}(\dot V_R) ou \Delta w_{\text{def}}(\dot V_R).
  4. Calcular w_{t,\text{real}}(\dot V_R) pela forma multiplicativa ou aditiva indicada no Exercício 10.
  5. Traçar num mesmo gráfico \dot V_R no eixo x e w_{t,\text{id}}, w_{t,\text{real}} no eixo y. Use título, legendas e unidades (J/kg para o trabalho específico).
    Se quiser, eu já monto um script (por exemplo em Python/matplotlib) pronto para você rodar: eu só preciso da expressão de Eck (ou da permissão para assumir uma forma típica).

Resumo final do que falta

  • O enunciado remete explicitamente à “expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (Exercício 10)”. Essa expressão não foi fornecida aqui; sem ela não posso calcular numericamente nem traçar a curva de w_{t,\text{real}}(\dot V_R).
  • Já derivei e dei a expressão numérica do trabalho ideal:
w_{t,\text{id}}(\dot V_R)\approx 3158{,}27 - 180{,}12\,\dot V_R\quad(\text{J/kg}).
  • Para completar (trabalho real e gráfico) preciso da fórmula de Eck do Exercício 10. Se você colar aqui a expressão de Eck, eu faço os cálculos numéricos e te entrego o gráfico e uma explicação passo a passo de como foi gerado (e o código, se quiser).

Resposta

Não é possível calcular numericamente nem traçar o trabalho específico real w_{t,\text{real}}(\dot V_R) porque a expressão do fator de deficiência de potência segundo Eck (Exercício 10) não foi fornecida.

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