As características de uma bomba centrífuga de dois estágios são: D_{4}=120 \mathrm{~mm}, D_{5}=200 \mathrm{~mm}, N_{p a ́}=9, b_{4}=23,5 \mathrm{~mm}, \quad \beta_{4}=18^{\circ}, \quad \beta_{5}=32^{\circ}, \quad n=2880 \mathrm{rpm}, e=4 \mathrm{~mm} e \eta_{h}=89 \%. Admita c_{m 4}=c_{m 5}. Determine: (a) A vazão real do rotor, em \ell / \mathrm{s}; (b) A largura da pá na saída do rotor (pá), em mm.

Passo 1

O enunciado pede: (a) a vazão real do rotor em \ell/\mathrm{s}; (b) a largura da pá na saída do rotor em \mathrm{mm}.
Dados fornecidos (coloquei todas as grandezas em unidades básicas quando necessário):
D_{4}=120\\ \mathrm{mm}=0{,}120\\ \mathrm{m},\qquad D_{5}=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m},
N_{\text{pá}}=9,\qquad b_{4}=23{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0235\\ \mathrm{m},á
\beta_{4}=18^\circ,\qquad \beta_{5}=32^\circ,\qquad n=2880\\ \mathrm{rpm},
e=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m},\qquad \eta_{h}=89\%.
Informações importantes extraídas do enunciado (resumo do que será usado): a velocidade meridional é a mesma na entrada e na saída do rotor ( c_{m4}=c_{m5}); há N_{\text{pá}}á pás que ocupam parte do comprimento circunferencial; devemos considerar a projeção da espessura das pás na direção circunferencial. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entender o que é c_m e como obtê-lo a partir das condições de entrada sem incidência.
  • Definição: c_m é a componente meridional (axial/radial conforme o problema) da velocidade do fluido — a velocidade com que o fluido atravessa a seção do canal em sentido meridional.
  • Condição de projeto sem incidência na entrada: o escoamento relativo entra alinhado com a pá, logo o ângulo relativo W coincide com o ângulo geométrico \beta_4. Essa condição implica a relação
\frac{W_{u4}}{W_{m4}}=\cot\beta_4,
onde W_{u4}=u_4-c_{u4} e W_{m4}=c_{m4}. Admitimos que não há pré-giro absoluto na entrada, isto é c_{u4}=0. Portanto W_{u4}=u_4 e a relação fica
\frac{u_4}{c_{m}}=\cot\beta_4\quad\Rightarrow\quad c_{m}=u_4\tan\beta_4.
Aqui u_4 é a velocidade periférica na posição correspondente ao diâmetro D_4:
u_4=\omega r_4=\frac{2\pi n}{60}\cdot\frac{D_4}{2}=\frac{\pi D_4 n}{60}.
Cálculo numérico de u_4 e c_m:
u_4=\frac{\pi\cdot 0{,}120\cdot 2880}{60}=\pi\cdot 5{,}76\approx 18{,}0956\\ \mathrm{m/s}.
c_{m}=u_4\tan(18^\circ)\approx 18{,}0956\cdot\tan(18^\circ)\approx 18{,}0956\cdot 0{,}3247\approx 5{,}877\\ \mathrm{m/s}.
(Expliquei o significado de cada símbolo: u_4 velocidade periférica, n rotação em rpm, D_4 diâmetro, \beta_4 ângulo da pá na entrada, c_m velocidade meridional.)

Passo 3

Área útil de escoamento na seção do rotor considerando ocupação das pás (projeção da espessura das pás na direção circunferencial).
  • Modelo geométrico usado: a seção meridional útil é o produto da largura b pela extensão circunferencial livre (comprimento aberto). A extensão circunferencial total é \pi D; cada pá ocupa uma projeção na tangente igual à espessura projetada. Se a espessura nominal e é medida normal à pá, a projeção tangencial é e\sin\beta. Então a extensão aberta é
L_{\text{aberto}}=\pi D - N_{\text{pá}}\,e\,\sin\beta.á
  • A área meridional útil é
A=b\cdot\bigl(\pi D - N_{\text{pá}}\,e\,\sin\beta\bigr).á
Aplicando no ponto 4 (entrada), com b_4, D_4, \beta_4:
Cálculo de \sin(18^\circ) e da projeção:
\sin(18^\circ)\approx 0{,}309017.
N_{\text{pá}}\,e\,\sin\beta_4=9\cdot 0{,}004\cdot 0{,}309017\approx 0{,}0111246\\ \mathrm{m}.á
\pi D_4=\pi\cdot 0{,}120\approx 0{,}3769911\\ \mathrm{m}.
L_{\text{aberto,4}}=\pi D_4 - 9 e\sin\beta_4\approx 0{,}3769911-0{,}0111246=0{,}3658665\\ \mathrm{m}.
A_4=b_4\cdot L_{\text{aberto,4}}=0{,}0235\cdot 0{,}3658665\approx 0{,}008596\\ \mathrm{m^2}.
(Expliquei por que subtraímos N e \sin\beta: cada pá “tira” uma fração da circunferência igual à sua projeção tangencial; multiplicando por b temos a área ocupada.)

Passo 4

Cálculo da vazão real Q no rotor usando Q=c_m\cdot A_4 e conversão para \ell/\mathrm{s}.
Q=c_m\cdot A_4\approx 5{,}877\\ \mathrm{m/s}\cdot 0{,}008596\\ \mathrm{m^2}\approx 0{,}05052\\ \mathrm{m^3/s}.
Conversão para litros por segundo:
Q\\ ( \ell/\mathrm{s})=0{,}05052\cdot 1000\approx 50{,}52\\ \ell/\mathrm{s}.

Passo 5

Cálculo da largura da pá na saída ( b_5) usando continuidade e a mesma c_m.
  • Área aberta na saída:
L_{\text{aberto,5}}=\pi D_5 - N_{\text{pá}}\,e\,\sin\beta_5.á
Cálculos numéricos:
\sin(32^\circ)\approx 0{,}5299193,
N_{\text{pá}}\,e\,\sin\beta_5=9\cdot 0{,}004\cdot 0{,}5299193\approx 0{,}0190771\\ \mathrm{m},á
\pi D_5=\pi\cdot 0{,}200\approx 0{,}6283185\\ \mathrm{m},
L_{\text{aberto,5}}=0{,}6283185-0{,}0190771=0{,}6092414\\ \mathrm{m}.
  • A largura b_5 vem de Q=c_m\cdot b_5\cdot L_{\text{aberto,5}}, logo
b_5=\frac{Q}{c_m\cdot L_{\text{aberto,5}}}.
Substituindo valores:
b_5=\frac{0{,}05052}{5{,}877\cdot 0{,}6092414}\approx 0{,}01411\\ \mathrm{m}=14{,}11\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Conclusão rápida e verificação de ordem de grandeza (motivacional): os valores obtidos são coerentes com uma bomba centrífuga desse porte (diâmetro de saída \,0{,}2\\ \mathrm{m} e vazão na casa de algumas dezenas de L/s). Observação: a eficiência hidráulica \eta_h foi informada mas não era necessária para determinar a vazão e a largura geométrica pedido (essas quantidades são determinadas pela geometria e condição de entrada sem incidência).

Resposta

Q\approx 50{,}52\\ \ell/\mathrm{s}
b_{5}\approx 14{,}11\\ \mathrm{mm}

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