As características de um rotor de turbina Francis são:
D_{4}=980 \mathrm{~mm}, \quad b_{4}=156 \mathrm{~mm}, \quad \alpha_{4}=17^{\circ}, \quad \beta_{4}=68^{\circ}, \alpha_{5 \mathrm{~m}}=90^{\circ}, \beta_{5 \mathrm{~m}}=21^{\circ}, D_{5 \mathrm{i}}=540 \mathrm{~mm}, D_{5 \mathrm{e}}=760 \mathrm{~mm} e n=750 \mathrm{rpm}. Para a linha de corrente média, determine:
(a) Os trabalhos específicos ideal e real desse rotor. (b) a vazão real do rotor, se o rotor tem 13 pás e as pás têm espessura de 10 mm .

Passo 1

O exercício dá características geométricas e angulares do rotor e pede: (a) os trabalhos específicos ideal e real por unidade de massa para a linha de corrente média; (b) a vazão real do rotor quando o rotor tem 13 pás de espessura 10\\ \mathrm{mm}.
Informações fornecidas (coloquei em unidades do SI):
D_{4}=980\\ \mathrm{mm}=0{,}980\\ \mathrm{m},\quad b_{4}=156\\ \mathrm{mm}=0{,}156\\ \mathrm{m},
\alpha_{4}=17^\circ,\quad \beta_{4}=68^\circ,
\alpha_{5m}=90^\circ,\quad \beta_{5m}=21^\circ,
D_{5i}=540\\ \mathrm{mm}=0{,}540\\ \mathrm{m},\quad D_{5e}=760\\ \mathrm{mm}=0{,}760\\ \mathrm{m},
n=750\\ \mathrm{rpm}.
Dados que vou usar e que podem ser calculados imediatamente (serão desenvolvidos nos próximos passos):
  • raio médio de entrada r_4 = D_4/2;
  • raio médio de saída r_{5m} = (D_{5i}+D_{5e})/4 (note que (D_{5i}+D_{5e})/2 é o diâmetro médio, então dividir por 2 dá o raio médio);
  • velocidade angular \omega = 2\pi n/60 e velocidades periféricas u_4=\omega r_4,\\ u_5=\omega r_{5m};
  • para a linha média vou usar as áreas anulares médias aproximadas por A= (2\pi r - z t)\,b (no caso ideal sem as pás z t=0); as alturas/espessuras radiais relevantes no escoamento do tubo são b_5=(D_{5e}-D_{5i})/2 e o b_4 fornecido;
  • relação entre componentes do triângulo de velocidade: V_u = componente tangencial da velocidade absoluta, V_m= componente meridional (ao longo do fluxo), W_u e W_m componentes em velocidade relativa; e a relação geométrica nas pás \tan\beta = V_m/W_u.
    Nada mais é pedido no enunciado (por exemplo não foi dada perda por atrito nem eficiência), então usarei as relações geométricas e a redução de área causada pelas pás para obter o trabalho real e a vazão real.

Passo 2

Primeira ferramenta teórica importante: equação de Euler para máquinas hidráulicas (trabalho específico ideal por unidade de massa). Vou explicar e aplicar de forma simples.
Conceito: a energia específica trocada entre fluido e rotor, em regime estacionário e por unidade de massa do fluido, é dada pela diferença de momento angular do escoamento entre entrada e saída. A forma prática é:
\text{trabalho específico ideal } e_{\text{ideal}} = u_4\,V_{u4} - u_5\,V_{u5}í
Aqui:
  • u_4 é a velocidade periférica (tangencial) na seção de entrada média ( \mathrm{m/s});
  • u_5 é a velocidade periférica na seção de saída média ( \mathrm{m/s});
  • V_{u4} e V_{u5} são as componentes tangenciais (whirl) da velocidade absoluta nas seções 4 e 5, respectivamente ( \mathrm{m/s}).
    Explicação intuitiva: uV_u representa o fluxo de momento por unidade de massa; a diferença entre entrada e saída é a energia extraída (ou fornecida) ao fluido. No nosso enunciado notamos que \alpha_{5m}=90^\circ, ou seja, na saída o escoamento absoluto não tem componente tangencial: V_{u5}=0. Assim a expressão simplifica para
e_{\text{ideal}} = u_4\,V_{u4}.

Passo 3

Como obter V_{u4}? Precisamos relacionar as componentes do triângulo de velocidade e a continuidade do fluxo. Vou detalhar as fórmulas que vou usar (não pula etapas):
  1. Velocidade angular e velocidades periféricas:
\omega = \frac{2\pi n}{60},\qquad u = \omega r.
  1. Área de escoamento na linha média (circunferência média vezes largura radial/axial):
A = 2\pi r\,b
(no caso real, as pás ocupam uma fração da circunferência; isso será tratado depois).
  1. Continuidade (vazão Q):
Q = A\,V_m
onde V_m é a velocidade meridional (ao longo do fluxo).
  1. Relação triângulo relativo na entrada: a componente tangencial da velocidade relativa é
W_{u4} = \frac{V_{m4}}{\tan\beta_4}
pois \tan\beta_4 = \dfrac{V_{m4}}{W_{u4}}. E a componente tangencial absoluta é
V_{u4} = W_{u4} + u_4.
  1. Na saída, como \alpha_{5m}=90^\circ temos V_{u5}=0. Também vale para a saída o triângulo relativo:
W_{u5} = \frac{V_{m5}}{\tan\beta_5} .
Mas W_{u5} = V_{u5}-u_5 = -u_5 (porque V_{u5}=0), então
\frac{V_{m5}}{\tan\beta_5} = -u_5.
Tomando magnitudes (direções são tratadas por sinal, aqui obtemos o valor positivo de V_{m5}):
V_{m5} = u_5\,\tan\beta_5.
Esse resultado é muito útil: determina V_{m5} diretamente a partir de u_5 e \beta_5, sem precisar inicialmente do Q.
Vou agora calcular numericamente passo a passo.

Passo 4

Calcular \omega,\\ r_4,\\ r_{5m},\\ u_4,\\ u_5.
\omega=\frac{2\pi n}{60}=\frac{2\pi\cdot 750}{60}=25\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx78{,}5398\\ \mathrm{rad/s}.
r_4=\frac{D_4}{2}= \frac{0{,}980}{2}=0{,}49\\ \mathrm{m}.
Diâmetro médio de saída D_{5m}=(D_{5i}+D_{5e})/2=(0{,}540+0{,}760)/2=0{,}650\\ \mathrm{m}, então
r_{5m}=\frac{D_{5m}}{2}= \frac{0{,}650}{2}=0{,}325\\ \mathrm{m}.
Agora as velocidades periféricas:
u_4=\omega r_4 \approx78{,}5398\cdot 0{,}49\approx 38{,}497\\ \mathrm{m/s},
u_5=\omega r_{5m}\approx78{,}5398\cdot 0{,}325\approx 25{,}534\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular V_{m5} usando a relação obtida no passo 3:
\beta_{5m}=21^\circ\quad\Rightarrow\quad \tan\beta_{5m}=\tan 21^\circ\approx 0{,}383864.
V_{m5}=u_5\,\tan\beta_{5m}\approx 25{,}534\cdot 0{,}383864\approx 9{,}802\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a vazão ideal Q_{\text{ideal}} (sem considerar bloqueio das pás), usando a área na saída média. Primeiro a largura radial na saída:
b_5=\frac{D_{5e}-D_{5i}}{2}=\frac{0{,}760-0{,}540}{2}=0{,}11\\ \mathrm{m}.
Área de escoamento na saída (linha média) sem bloqueio:
A_{5,\text{ideal}}=2\pi r_{5m}\,b_5=2\pi\cdot 0{,}325\cdot 0{,}11\approx 0{,}224624\\ \mathrm{m^2}.
Portanto
Q_{\text{ideal}}=A_{5,\text{ideal}}\,V_{m5}\approx 0{,}224624\cdot 9{,}802\approx 2{,}2009\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 7

Com Q_{\text{ideal}} calculado, obtenho a velocidade meridional na entrada média V_{m4} e, por fim, V_{u4} (necessário para o trabalho ideal). Área de entrada (linha média) sem bloqueio:
A_{4,\text{ideal}}=2\pi r_4\,b_4=2\pi\cdot 0{,}49\cdot 0{,}156\approx 0{,}480410\\ \mathrm{m^2}.
Logo
V_{m4}=\frac{Q_{\text{ideal}}}{A_{4,\text{ideal}}}\approx \frac{2{,}2009}{0{,}480410}\approx 4{,}5806\\ \mathrm{m/s}.
Agora relaciono com \beta_4. Primeiro \tan\beta_4:
\beta_4=68^\circ\quad\Rightarrow\quad \tan\beta_4\approx 2{,}60509.
Com isso a componente tangencial relativa:
W_{u4}=\frac{V_{m4}}{\tan\beta_4}\approx \frac{4{,}5806}{2{,}60509}\approx 1{,}7584\\ \mathrm{m/s}.
E a componente tangencial absoluta na entrada:
V_{u4}=W_{u4}+u_4\approx 1{,}7584+38{,}497\approx 40{,}2554\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Agora aplico a equação de Euler para obter o trabalho específico ideal:
e_{\text{ideal}}=u_4\,V_{u4}-u_5\,V_{u5}.
Como \alpha_{5m}=90^\circ\Rightarrow V_{u5}=0, temos
e_{\text{ideal}}=u_4\,V_{u4}\approx 38{,}497\cdot 40{,}2554\approx 1549{,}8\\ \mathrm{J/kg}.
Arredondando de forma razoável, e_{\text{ideal}}\approx 1550\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 9

Agora vamos tratar o caso real: a presença de z=13 pás de espessura t=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m} reduz a área efetiva disponível ao escoamento na circunferência média. Vou calcular a vazão real Q_{\text{real}} considerando que a área efetiva em cada seção é:
A_{\text{efetiva}}=(2\pi r - z t)\,b.
Isso quer dizer: a circunferência média total 2\pi r tem uma fatia ocupada pelas lâminas de comprimento total z t que não deixa passar fluido; o resto é a “abertura” disponível multiplicada pela largura b.
Calcule primeiro a redução na circunferência nas seções usadas:
Circunferência média entrada:
C_4=2\pi r_4\approx 2\pi\cdot 0{,}49\approx 3{,}07876\\ \mathrm{m}.
Comprimento ocupado pelas pás:
z t=13\cdot 0{,}01=0{,}13\\ \mathrm{m}.
Assim a circunferência aberta efetiva na entrada é C_{4,\text{aberta}}=C_4-z t\approx 3{,}07876-0{,}13=2{,}94876\\ \mathrm{m}. Fração aberta f_4\approx 2{,}94876/3{,}07876\approx 0{,}95775.
Circunferência média saída:
C_{5}=2\pi r_{5m}\approx 2\pi\cdot 0{,}325\approx 2{,}042035\\ \mathrm{m}.
Abertura efetiva na saída C_{5,\text{aberta}}=C_5-z t\approx 2{,}042035-0{,}13=1{,}912035\\ \mathrm{m}. Fração aberta f_5\approx 1{,}912035/2{,}042035\approx 0{,}9363.

Passo 10

Com a relação do passo 5 V_{m5}=u_5\tan\beta_5 ainda válida (ela vem do triângulo de velocidades e da condição V_{u5}=0), o valor de V_{m5} não muda por causa da espessura das pás (o que muda é a área disponível e, portanto, a vazão). Assim V_{m5} permanece aproximadamente 9{,}802\\ \mathrm{m/s}. A vazão real, porém, é dada por:
A_{5,\text{real}}=(C_5-z t)\,b_5,\qquad Q_{\text{real}}=A_{5,\text{real}}\,V_{m5}.
Calcule A_{5,\text{real}}:
A_{5,\text{real}}=(2{,}042035-0{,}13)\cdot 0{,}11\approx 1{,}912035\cdot 0{,}11\approx 0{,}210324\\ \mathrm{m^2}.
Portanto
Q_{\text{real}}=0{,}210324\cdot 9{,}802\approx 2{,}0616\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando: Q_{\text{real}}\approx 2{,}062\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 11

Com Q_{\text{real}} calculado, obtenho as velocidades meridionais reais e o trabalho específico real. Área efetiva de entrada:
A_{4,\text{real}}=(2\pi r_4 - z t)\,b_4=(3{,}07876-0{,}13)\cdot 0{,}156\approx 2{,}94876\cdot 0{,}156\approx 0{,}459711\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade meridional na entrada real:
V_{m4,\text{real}}=\frac{Q_{\text{real}}}{A_{4,\text{real}}}\approx \frac{2{,}0616}{0{,}459711}\approx 4{,}4860\\ \mathrm{m/s}.
Com \tan\beta_4\approx 2{,}60509,
W_{u4,\text{real}}=\frac{V_{m4,\text{real}}}{\tan\beta_4}\approx \frac{4{,}4860}{2{,}60509}\approx 1{,}7210\\ \mathrm{m/s}.
Assim a componente tangencial absoluta real na entrada:
V_{u4,\text{real}}=W_{u4,\text{real}}+u_4\approx 1{,}7210+38{,}497\approx 40{,}218\\ \mathrm{m/s}.
Finalmente, o trabalho específico real:
e_{\text{real}}=u_4\,V_{u4,\text{real}}-u_5\,V_{u5}\approx 38{,}497\cdot 40{,}218\approx 1547{,}0\\ \mathrm{J/kg}.
Arredondando: e_{\text{real}}\approx 1547\\ \mathrm{J/kg}.

Resposta

(a) Trabalho específico ideal e_{\text{ideal}}\approx 1550\\ \mathrm{J/kg}
(a) Trabalho específico real e_{\text{real}}\approx 1547\\ \mathrm{J/kg}
(b) Vazão real do rotor Q_{\text{real}}\approx 2{,}062\\ \mathrm{m^3/s}

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