As características de um rotor de turbina Francis são:
,
e
. Para a linha de corrente média, determine:
(a) Os trabalhos específicos ideal e real desse rotor. (b) a vazão real do rotor, se o rotor tem 13 pás e as pás têm espessura de 10 mm .
(a) Os trabalhos específicos ideal e real desse rotor. (b) a vazão real do rotor, se o rotor tem 13 pás e as pás têm espessura de 10 mm .
Passo 1
O exercício dá características geométricas e angulares do rotor e pede: (a) os trabalhos específicos ideal e real por unidade de massa para a linha de corrente média; (b) a vazão real do rotor quando o rotor tem
pás de espessura
.
Informações fornecidas (coloquei em unidades do SI):
Informações fornecidas (coloquei em unidades do SI):
Dados que vou usar e que podem ser calculados imediatamente (serão desenvolvidos nos próximos passos):
- raio médio de entrada
; - raio médio de saída
(note que é o diâmetro médio, então dividir por 2 dá o raio médio); - velocidade angular
e velocidades periféricas ; - para a linha média vou usar as áreas anulares médias aproximadas por
(no caso ideal sem as pás ); as alturas/espessuras radiais relevantes no escoamento do tubo são e o fornecido; - relação entre componentes do triângulo de velocidade:
componente tangencial da velocidade absoluta, componente meridional (ao longo do fluxo), e componentes em velocidade relativa; e a relação geométrica nas pás .
Nada mais é pedido no enunciado (por exemplo não foi dada perda por atrito nem eficiência), então usarei as relações geométricas e a redução de área causada pelas pás para obter o trabalho real e a vazão real.
Passo 2
Primeira ferramenta teórica importante: equação de Euler para máquinas hidráulicas (trabalho específico ideal por unidade de massa). Vou explicar e aplicar de forma simples.
Conceito: a energia específica trocada entre fluido e rotor, em regime estacionário e por unidade de massa do fluido, é dada pela diferença de momento angular do escoamento entre entrada e saída. A forma prática é:
Conceito: a energia específica trocada entre fluido e rotor, em regime estacionário e por unidade de massa do fluido, é dada pela diferença de momento angular do escoamento entre entrada e saída. A forma prática é:
Aqui:
-
é a velocidade periférica (tangencial) na seção de entrada média ( ); -
é a velocidade periférica na seção de saída média ( ); -
e são as componentes tangenciais (whirl) da velocidade absoluta nas seções 4 e 5, respectivamente ( ).
Explicação intuitiva:representa o fluxo de momento por unidade de massa; a diferença entre entrada e saída é a energia extraída (ou fornecida) ao fluido. No nosso enunciado notamos que , ou seja, na saída o escoamento absoluto não tem componente tangencial: . Assim a expressão simplifica para
Passo 3
Como obter
? Precisamos relacionar as componentes do triângulo de velocidade e a continuidade do fluxo. Vou detalhar as fórmulas que vou usar (não pula etapas):
- Velocidade angular e velocidades periféricas:
- Área de escoamento na linha média (circunferência média vezes largura radial/axial):
(no caso real, as pás ocupam uma fração da circunferência; isso será tratado depois).
- Continuidade (vazão
):
onde
é a velocidade meridional (ao longo do fluxo).
- Relação triângulo relativo na entrada: a componente tangencial da velocidade relativa é
pois
. E a componente tangencial absoluta é
- Na saída, como
temos . Também vale para a saída o triângulo relativo:
Mas
(porque
), então
Tomando magnitudes (direções são tratadas por sinal, aqui obtemos o valor positivo de
):
Esse resultado é muito útil: determina
diretamente a partir de
e
, sem precisar inicialmente do
.
Vou agora calcular numericamente passo a passo.
Passo 4
Calcular
.
Diâmetro médio de saída
, então
Agora as velocidades periféricas:
Passo 5
Calcular
usando a relação obtida no passo 3:
Passo 6
Calcular a vazão ideal
(sem considerar bloqueio das pás), usando a área na saída média. Primeiro a largura radial na saída:
Área de escoamento na saída (linha média) sem bloqueio:
Portanto
Passo 7
Com
calculado, obtenho a velocidade meridional na entrada média
e, por fim,
(necessário para o trabalho ideal). Área de entrada (linha média) sem bloqueio:
Logo
Agora relaciono com
. Primeiro
:
Com isso a componente tangencial relativa:
E a componente tangencial absoluta na entrada:
Passo 8
Agora aplico a equação de Euler para obter o trabalho específico ideal:
Como
, temos
Arredondando de forma razoável,
.
Passo 9
Agora vamos tratar o caso real: a presença de
pás de espessura
reduz a área efetiva disponível ao escoamento na circunferência média. Vou calcular a vazão real
considerando que a área efetiva em cada seção é:
Isso quer dizer: a circunferência média total
tem uma fatia ocupada pelas lâminas de comprimento total
que não deixa passar fluido; o resto é a “abertura” disponível multiplicada pela largura
.
Calcule primeiro a redução na circunferência nas seções usadas:
Circunferência média entrada:
Comprimento ocupado pelas pás:
Assim a circunferência aberta efetiva na entrada é
. Fração aberta
.
Circunferência média saída:
Abertura efetiva na saída
. Fração aberta
.
Passo 10
Com a relação do passo 5
ainda válida (ela vem do triângulo de velocidades e da condição
), o valor de
não muda por causa da espessura das pás (o que muda é a área disponível e, portanto, a vazão). Assim
permanece aproximadamente
. A vazão real, porém, é dada por:
Calcule
:
Portanto
Arredondando:
.
Passo 11
Com
calculado, obtenho as velocidades meridionais reais e o trabalho específico real. Área efetiva de entrada:
Velocidade meridional na entrada real:
Com
,
Assim a componente tangencial absoluta real na entrada:
Finalmente, o trabalho específico real:
Arredondando:
.
Resposta
(a) Trabalho específico ideal
(a) Trabalho específico real
(b) Vazão real do rotor
(a) Trabalho específico real
(b) Vazão real do rotor