Uma placa metálica de área A=2 m^{2} está em regime estacionário. Sabe-se que uma taxa de calor de 500 W entra pela face esquerda por radiação e 200 W saem pela face direita por convecção. Se a placa possui uma resistência elétrica interna que gera 300 W de calor, determine se há acúmulo de energia ou se o sistema está em equilíbrio, justificando com a Primeira Lei da Termodinâmica.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz essa pergunta:
  • Dados fornecidos:
    • Área da placa: A=2\\ \mathrm{m}^2.
    • Taxa de calor que entra pela face esquerda (por radiação): \dot{Q}_{\text{rad,in}}=500\\ \mathrm{W}.
    • Taxa de calor que sai pela face direita (por convecção): \dot{Q}_{\text{conv,out}}=200\\ \mathrm{W}.
    • Geração interna de calor por resistência elétrica: \dot{Q}_{\text{gen}}=300\\ \mathrm{W}.
    • O enunciado afirma que a placa “está em regime estacionário”.
  • Pergunta:
    • Determinar se há acúmulo de energia ou se o sistema está em equilíbrio, justificando com a Primeira Lei da Termodinâmica.
Observação imediata: o valor da área \,A=2\\ \mathrm{m}^2 foi dado, mas para o balanço global de energia em taxas (W) ele não é necessário — só seriam necessárias áreas se quiséssemos relacionar fluxos de calor por unidade de área ou usar leis de convecção/radiação explícitas.

Passo 2

Enunciando a Primeira Lei da Termodinâmica (na forma de balanço de energia para volume de controle, em regime geral de taxas):
\frac{dE_{\text{cv}}}{dt} = \sum \dot{Q}_{\text{in}} - \sum \dot{Q}_{\text{out}} + \dot{Q}_{\text{gen}} + \dot{W}_{\text{in}},
onde:
  • \frac{dE_{\text{cv}}}{dt} é a taxa de variação da energia interna (mais outras formas de energia) do volume de controle, em watts ( \mathrm{W}); é positiva quando o sistema acumula energia.
  • \sum \dot{Q}_{\text{in}} é a soma das taxas de calor que entram (W).
  • \sum \dot{Q}_{\text{out}} é a soma das taxas de calor que saem (W).
  • \dot{Q}_{\text{gen}} é a taxa de geração interna de calor (por exemplo resistência elétrica), em W.
  • \dot{W}_{\text{in}} é taxa de trabalho feita sobre o sistema (W).
Explicação didática/intuitiva: a Primeira Lei diz que a taxa de aumento de energia interna do sistema é a soma do calor que entra, menos o calor que sai, mais o calor gerado dentro, mais o trabalho que entra. Em muitas situações térmicas sem movimento macroscópico relevante não há trabalho mecânico relevante, então \dot{W}_{\text{in}}=0.
Regime estacionário (steady-state) significa que as propriedades internas não variam com o tempo, portanto
\frac{dE_{\text{cv}}}{dt}=0.
Ou seja, em steady-state a soma das potências que entram deve igualar a soma das potências que saem (incluindo geração interna).

Passo 3

Aplicando as informações do enunciado ao balanço:
  • Não há menção a trabalho de entrada, logo assumimos \dot{W}_{\text{in}}=0.
  • Identificação das taxas:
    • \dot{Q}_{\text{in}} = \dot{Q}_{\text{rad,in}} = 500\\ \mathrm{W}.
    • \dot{Q}_{\text{gen}} = 300\\ \mathrm{W}.
    • \dot{Q}_{\text{out}} = \dot{Q}_{\text{conv,out}} = 200\\ \mathrm{W}.
Escolha de sinais (convencional, para não se confundir): somamos as potências que entram com sinal positivo e subtraímos as que saem.

Passo 4

Agora escrevemos o balanço de energia em forma de taxa para este caso específico:
\frac{dE_{\text{cv}}}{dt} = \dot{Q}_{\text{in}} + \dot{Q}_{\text{gen}} - \dot{Q}_{\text{out}}.
Substituindo os números (tudo em \mathrm{W}):
\frac{dE_{\text{cv}}}{dt} = 500 + 300 - 200 = 600\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Interpretação e conclusão física:
  • O resultado \frac{dE_{\text{cv}}}{dt}=600\\ \mathrm{W}>0 significa que a energia interna do sistema está aumentando à razão de 600\\ \mathrm{W}. Em termos práticos, a placa estaria acumulando energia (aquecendo) com taxa de 600\\ \mathrm{W}.
  • Isso entra em contradição com a afirmação “está em regime estacionário”, pois em regime estacionário deveria valer \frac{dE_{\text{cv}}}{dt}=0. Portanto, com os fluxos declarados, o sistema NÃO está em equilíbrio/steady-state.
  • Para que o sistema realmente estivesse em equilíbrio, teria de existir alguma via adicional de perda de calor (por exemplo condução para suportes, radiação para o ambiente, convecção pela face esquerda, etc.) que removesse exatamente \,600\\ \mathrm{W}. Como o enunciado não cita essas perdas, os números dados implicam acúmulo de energia.
Observação final encorajadora: é comum em exercícios que peçam verificar consistência com a Primeira Lei — às vezes o enunciado já diz “regime estacionário” para nos fazer checar se os fluxos batem. Aqui eles não batem: ou falta informação (perdas não mencionadas) ou o sistema realmente acumula energia.

Resposta

Há acúmulo de energia à taxa de 600\\ \mathrm{W} (o sistema, com os dados fornecidos, não está em equilíbrio).

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