Considere um sistema de abastecimento de água por gravidade entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes e iguais a
e
, ligados por uma tubulação de
de diâmetro, 1025 m de comprimento e fator de atrito
. Desejando-se aumentar a capacidade de vazão do sistema, instalouse, imediatamente na saída do reservatório superior, uma bomba centrífuga cuja curva característica é dada na tabela a seguir. Desprezando as perdas de carga localizadas e a perda de carga na sucção, determine a nova vazão recalcada, a cota piezométrica na saída da bomba e a potência requerida.
0
0,006
0,012
0,018
0,024
0,030
0,036
BbaA H(m)
22,6
21,9
20,3
17,7
14,2
9.7
3,9
0
32
74
86
85
66
28
Bba B H (m)
16,2
13,6
11,9
11,6
10,7
9,0
6,4
(%)
0
14
34
60
80
80
60
|
|
0 | 0,006 | 0,012 | 0,018 | 0,024 | 0,030 | 0,036 |
| BbaA H(m) | 22,6 | 21,9 | 20,3 | 17,7 | 14,2 | 9.7 | 3,9 |
|
|
0 | 32 | 74 | 86 | 85 | 66 | 28 |
| Bba B H (m) | 16,2 | 13,6 | 11,9 | 11,6 | 10,7 | 9,0 | 6,4 |
|
|
|||||||
| 0 | 14 | 34 | 60 | 80 | 80 | 60 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados do sistema (pegos do enunciado):
- Níveis (cotas) dos reservatórios: cota superior
e cota inferior . - Diâmetro da tubulação:
. - Comprimento da tubulação:
. - Fator de atrito (Darcy):
. - Desprezam-se perdas locais e perda na sucção.
- Curva característica da bomba (tabela), com duas curvas identificadas como “BbaA” e “BbaB”: valores de
(m) e (%) para pontos de vazão dados .
- Níveis (cotas) dos reservatórios: cota superior
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a nova vazão recalcada
(ou seja, o valor de em regime após instalação da bomba). - Determinar a cota piezométrica na saída da bomba.
- Determinar a potência requerida pela bomba (potência no eixo), usando a eficiência dada.
- Determinar a nova vazão recalcada
Observação importante extraída do enunciado: as cotas têm o termo
em ambas e iguais, logo a diferença de nível entre reservatórios é
Isso significa que a diferença de cotas não depende de
e vale
.
Passo 2
Formulação física e equação de regime: explicar a ideia e as fórmulas que vamos usar.
- Energia entre superfície livre superior (sucção) e saída da bomba: considerando sucção em reservatório (pressão atmosférica), velocidade de superfície do reservatório desprezível, perdas na sucção desprezadas, e sem perdas localizadas, a bomba tem que fornecer uma “altura” (head) que compense a diferença de nível e a perda por atrito ao longo da tubulação. A igualdade de regime (balanço de heads) pode ser escrita, em forma simples:
onde
-
é a altura (head) fornecida pela bomba para a vazão (essa é a curva característica da bomba). -
é a diferença de nível entre reservatórios. -
é a perda de carga por atrito na tubulação para a vazão . -
Fórmula de Darcy–Weisbach (explicação didática):
- A perda por atrito numa tubulação retilínea é dada por
onde-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento da tubulação (m), -
é o diâmetro interno (m), -
é a velocidade média do fluido na tubulação (m/s), -
é a aceleração da gravidade ( ). - Relação entre vazão e velocidade: a vazão volumétrica
e a velocidade média estão ligadas pela área da seção:
- Substituindo
em obtemos uma expressão do tipo
ou seja, a perda por atrito cresce com o quadrado de. A constante será calculada numericamente a seguir. -
Interseção bomba–sistema: para determinar
em regime, igualamos a curva da bomba com a curva do sistema . A curva da bomba só é conhecida em pontos discretos (tabela), então vamos aproximar por segmentos lineares entre os pontos adjacentes da tabela e achar numericamente (por interpolação e resolução de uma equação quadrática) o onde as duas curvas se encontram. -
Potência requerida (explicação):
- A potência hidráulica entregue à água é
ondeé a densidade da água (usar ). - A potência no eixo da bomba (potência requerida ao motor), considerando eficiência da bomba
(adimensional), é
- A eficiência
será obtida por interpolação na tabela no ponto de operação encontrado.
Passo 3
Cálculos das constantes geométricas e da expressão de
.
- Área da tubulação:
Calculemos passo a passo:
- Constante multiplicativa na fórmula de
:
Calcule
:
E
. Logo
Portanto
Substituindo
:
Calcule
:
Logo a constante
tal que
é
ou seja
- Assim a curva do sistema (head necessária para circular a vazão
) é
Passo 4
Procedimento numérico: localizar, por inspeção da tabela, em que intervalo de
a curva da bomba cruza a curva do sistema e montar a equação para resolver.
- Vamos tratar separadamente as duas curvas da bomba fornecidas na tabela: BbaA e BbaB. Para cada uma:
- Identificamos o intervalo
entre pontos da tabela onde passa de maior que para menor que (ou vice-versa). Nesse intervalo aproximamos por uma reta (interpolação linear) e igualamos à expressão . A igualdade será uma equação quadrática em que resolvemos.
- Identificamos o intervalo
Vou agora fazer isso primeiro para a curva BbaA e depois para BbaB.
Passo 5
Determinação da vazão de regime para a curva BbaA.
-
Valores relevantes da tabela (pega da tabela):
- Para
: , . - Para
: , .
- Para
-
Observação (feita no Passo 1): em
temos enquanto . Calculando: Assim. -
Em
: Aqui. -
Portanto há uma interseção no intervalo
. -
Interpolação linear da curva da bomba entre esses dois pontos:
- A inclinação (pendente) entre os pontos é
- Então para
nesse intervalo:
-
Igualando
: Expandindo o lado esquerdo:Assim a equação ficaÉ uma quadrática da formacom -
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara):Calculemos os termos:
Logo
A solução física (raiz positiva) é
Arredondando de forma razoável:
.
Passo 6
Cota piezométrica na saída da bomba (para BbaA).
- A cota piezométrica na saída da bomba (pressão convertida em altura + cota geométrica) é, como a sucção estava na superfície do reservatório (cota
) e usando o significado de como ganho de energia por unidade de peso, simplesmente:
- Calculamos
no ponto de operação. Podemos usar . Com ,
Calculemos:
Logo
- Portanto a cota piezométrica na saída da bomba é
(Manter o termo
porque as cotas foram dadas em função de
.)
Passo 7
Potência requerida para BbaA (cálculo da potência hidráulica e potência no eixo com interpolação de eficiência).
- Potência hidráulica:
Usando
,
,
,
:
Calcule passo a passo:
Multiplicando por
(para W) obtemos
.
- Eficiência
: interpolar entre os pontos ( ) e ( ). A posição relativa de no intervalo:
Assim
.
Ou seja (adimensional).
Ou seja
- Potência no eixo:
Passo 8
Determinação da vazão de regime, cota piezométrica e potência para a curva BbaB (mesma sequência de passos).
-
Inspeção da tabela e do
já calculado: - Em
: (BbaB) e . então . Aqui . - Em
: (BbaB) e . Aqui . - Logo a interseção está no intervalo
.
- Em
-
Interpolação linear da bomba entre esses pontos:E
-
Igualando com
:
- Resolviendo a quadrática:
Solução física (positiva):
-
no ponto de operação (usar a igualdade ): Calcule:Logo -
Cota piezométrica na saída da bomba:
-
Potência hidráulica:Calculando:então
. -
Eficiência
: interpolar entre ( ) e ( ). Fração relativa: LogoEm adimensional:. -
Potência no eixo:
Resposta
BbaA:
BbaA: cota piezométrica na saída
BbaA: potência requerida
BbaA: cota piezométrica na saída
BbaA: potência requerida
BbaB:
BbaB: cota piezométrica na saída
BbaB: potência requerida
BbaB: cota piezométrica na saída
BbaB: potência requerida