Considere um sistema de abastecimento de água por gravidade entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes e iguais a (812,00+50 \mathrm{X}) e (800,00+50 \mathrm{X}) \mathrm{m}, ligados por uma tubulação de 6^{\prime \prime} de diâmetro, 1025 m de comprimento e fator de atrito \mathrm{f}=0,025. Desejando-se aumentar a capacidade de vazão do sistema, instalouse, imediatamente na saída do reservatório superior, uma bomba centrífuga cuja curva característica é dada na tabela a seguir. Desprezando as perdas de carga localizadas e a perda de carga na sucção, determine a nova vazão recalcada, a cota piezométrica na saída da bomba e a potência requerida.
\mathrm{Q}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}\right) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036
BbaA H(m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9.7 3,9
\eta(\%) 0 32 74 86 85 66 28
Bba B H (m) 16,2 13,6 11,9 11,6 10,7 9,0 6,4
\eta (%)
0 14 34 60 80 80 60

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do sistema (pegos do enunciado):
    • Níveis (cotas) dos reservatórios: cota superior z_1 = (812{,}00+50X)\\ \mathrm{m} e cota inferior z_2 = (800{,}00+50X)\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro da tubulação: D = 6'' = 0{,}1524\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento da tubulação: L = 1025\\ \mathrm{m}.
    • Fator de atrito (Darcy): f = 0{,}025.
    • Desprezam-se perdas locais e perda na sucção.
    • Curva característica da bomba (tabela), com duas curvas identificadas como “BbaA” e “BbaB”: valores de H (m) e \eta (%) para pontos de vazão dados \,Q=(0,\;0{,}006,\;0{,}012,\;0{,}018,\;0{,}024,\;0{,}030,\;0{,}036)\\ \mathrm{m^3/s}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a nova vazão recalcada Q (ou seja, o valor de Q em regime após instalação da bomba).
    2. Determinar a cota piezométrica na saída da bomba.
    3. Determinar a potência requerida pela bomba (potência no eixo), usando a eficiência dada.
Observação importante extraída do enunciado: as cotas têm o termo 50X em ambas e iguais, logo a diferença de nível entre reservatórios é
\Delta z = z_1 - z_2 = (812{,}00+50X)-(800{,}00+50X)=12{,}00\\ \mathrm{m}.
Isso significa que a diferença de cotas não depende de X e vale \,12{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Formulação física e equação de regime: explicar a ideia e as fórmulas que vamos usar.
  • Energia entre superfície livre superior (sucção) e saída da bomba: considerando sucção em reservatório (pressão atmosférica), velocidade de superfície do reservatório desprezível, perdas na sucção desprezadas, e sem perdas localizadas, a bomba tem que fornecer uma “altura” (head) que compense a diferença de nível e a perda por atrito ao longo da tubulação. A igualdade de regime (balanço de heads) pode ser escrita, em forma simples:
H_p(Q) = \Delta z + h_f(Q),
onde
  • H_p(Q) é a altura (head) fornecida pela bomba para a vazão Q (essa é a curva característica da bomba).
  • \Delta z = 12{,}00\\ \mathrm{m} é a diferença de nível entre reservatórios.
  • h_f(Q) é a perda de carga por atrito na tubulação para a vazão Q.
  • Fórmula de Darcy–Weisbach (explicação didática):
    • A perda por atrito numa tubulação retilínea é dada por
    h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
    onde
    • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
    • L é o comprimento da tubulação (m),
    • D é o diâmetro interno (m),
    • V é a velocidade média do fluido na tubulação (m/s),
    • g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
    • Relação entre vazão e velocidade: a vazão volumétrica Q e a velocidade média V estão ligadas pela área da seção:
    V = \frac{Q}{A},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}.
    • Substituindo V em h_f obtemos uma expressão do tipo
    h_f(Q)=K\,Q^2,
    ou seja, a perda por atrito cresce com o quadrado de Q. A constante K será calculada numericamente a seguir.
  • Interseção bomba–sistema: para determinar Q em regime, igualamos a curva da bomba H_p(Q) com a curva do sistema H_{sys}(Q)=\Delta z + h_f(Q). A curva da bomba só é conhecida em pontos discretos (tabela), então vamos aproximar H_p(Q) por segmentos lineares entre os pontos adjacentes da tabela e achar numericamente (por interpolação e resolução de uma equação quadrática) o Q onde as duas curvas se encontram.
  • Potência requerida (explicação):
    • A potência hidráulica entregue à água é
    P_h = \rho g Q H_p,
    onde \rho é a densidade da água (usar \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}).
    • A potência no eixo da bomba (potência requerida ao motor), considerando eficiência da bomba \eta (adimensional), é
    P_{eixo} = \frac{P_h}{\eta}.
    • A eficiência \eta será obtida por interpolação na tabela no ponto de operação encontrado.

Passo 3

Cálculos das constantes geométricas e da expressão de h_f(Q).
  • Área da tubulação:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}1524)^2}{4}.
Calculemos passo a passo:
D^2 = (0{,}1524)^2 = 0{,}02323776\\ \mathrm{m^2},
A = \frac{\pi\cdot0{,}02323776}{4}\approx 0{,}018259\\ \mathrm{m^2}.
  • Constante multiplicativa na fórmula de h_f:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g} = \left(f\frac{L}{D}\frac{1}{2g}\right) V^2.
Calcule f\frac{L}{D}:
\frac{L}{D}=\frac{1025}{0{,}1524}\approx 6729{,}0,\qquad f\frac{L}{D}=0{,}025\times6729{,}0\approx168{,}225.
E 2g=19{,}62. Logo
\frac{fL/D}{2g}\approx\frac{168{,}225}{19{,}62}\approx8{,}5759.
Portanto
h_f \approx 8{,}5759\,V^2.
Substituindo V=Q/A:
h_f(Q) \approx 8{,}5759\left(\frac{Q}{A}\right)^2 = \left(\frac{8{,}5759}{A^2}\right) Q^2.
Calcule A^2:
A^2\approx(0{,}018259)^2\approx0{,}00033339.
Logo a constante K tal que h_f=KQ^2 é
K=\frac{8{,}5759}{A^2}\approx\frac{8{,}5759}{0{,}00033339}\approx25734\\ (\mathrm{m^{-4}s^{2}}),
ou seja
h_f(Q)\approx25734\,Q^2\quad\text{(com \(Q\) em \(\mathrm{m^3/s}\) e \(h_f\) em m).}
  • Assim a curva do sistema (head necessária para circular a vazão Q) é
H_{sys}(Q)=\Delta z + h_f(Q)=12{,}00 + 25734\,Q^2.

Passo 4

Procedimento numérico: localizar, por inspeção da tabela, em que intervalo de Q a curva da bomba cruza a curva do sistema e montar a equação para resolver.
  • Vamos tratar separadamente as duas curvas da bomba fornecidas na tabela: BbaA e BbaB. Para cada uma:
    • Identificamos o intervalo [Q_i,Q_{i+1}] entre pontos da tabela onde H_p(Q) passa de maior que H_{sys} para menor que H_{sys} (ou vice-versa). Nesse intervalo aproximamos H_p(Q) por uma reta (interpolação linear) e igualamos à expressão H_{sys}(Q). A igualdade será uma equação quadrática em Q que resolvemos.
Vou agora fazer isso primeiro para a curva BbaA e depois para BbaB.

Passo 5

Determinação da vazão de regime para a curva BbaA.
  • Valores relevantes da tabela (pega da tabela):
    • Para Q=0{,}012\\ \mathrm{m^3/s}: H_{p}=20{,}3\\ \mathrm{m}, \eta=74\%.
    • Para Q=0{,}018\\ \mathrm{m^3/s}: H_{p}=17{,}7\\ \mathrm{m}, \eta=86\%.
  • Observação (feita no Passo 1): em Q=0{,}012 temos H_{p}=20{,}3 enquanto H_{sys}(0{,}012)=12{,}00+25734(0{,}012)^2. Calculando:
    H_{sys}(0{,}012)=12{,}00+25734\times(0{,}012)^2 =12{,}00+25734\times0{,}000144 \approx12{,}00+3{,}708\approx15{,}708\\ \mathrm{m}.
    Assim H_p(0{,}012)=20{,}3>H_{sys}(0{,}012).
  • Em Q=0{,}018:
    H_{sys}(0{,}018)=12{,}00+25734\times(0{,}018)^2 =12{,}00+25734\times0{,}000324 \approx12{,}00+8{,}343\approx20{,}343\\ \mathrm{m}.
    Aqui H_p(0{,}018)=17{,}7<H_{sys}(0{,}018).
  • Portanto há uma interseção no intervalo [0{,}012,\;0{,}018].
  • Interpolação linear da curva da bomba entre esses dois pontos:
    • A inclinação (pendente) entre os pontos é
    m_p = \frac{17{,}7-20{,}3}{0{,}018-0{,}012}=\frac{-2{,}6}{0{,}006}=-433{,}333\\ \mathrm{m\;/(m^3/s)}.
    • Então para Q nesse intervalo:
    H_p(Q)=20{,}3 + m_p\,(Q-0{,}012)=20{,}3 -433{,}333\,(Q-0{,}012).
  • Igualando H_p(Q)=H_{sys}(Q):
    20{,}3 -433{,}333\,(Q-0{,}012)=12{,}00 +25734\,Q^2.
    Expandindo o lado esquerdo:
    20{,}3 -433{,}333Q +433{,}333\times0{,}012 =20{,}3 -433{,}333Q +5{,}2 =25{,}5 -433{,}333Q.
    Assim a equação fica
    25734\,Q^2 +433{,}333\,Q -13{,}5 =0.
    É uma quadrática da forma aQ^2 + bQ + c = 0 com
    a=25734,\quad b=433{,}333,\quad c=-13{,}5.
  • Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara):
    \Delta = b^2 - 4ac.
    Calculemos os termos:
    b^2 \approx(433{,}333)^2 \approx187{,}777{,}8,
-4ac = -4\times25734\times(-13{,}5)=+1{,}389{,}636.
Logo
\Delta \approx187{,}777{,}8 +1{,}389{,}636 \approx1{,}577{,}414.
\sqrt{\Delta}\approx1256{,}0.
A solução física (raiz positiva) é
Q = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-433{,}333 +1256{,}0}{2\times25734} \approx\frac{822{,}667}{51468}\approx0{,}01599\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando de forma razoável: Q\approx0{,}0160\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 6

Cota piezométrica na saída da bomba (para BbaA).
  • A cota piezométrica na saída da bomba (pressão convertida em altura + cota geométrica) é, como a sucção estava na superfície do reservatório (cota z_1) e usando o significado de H_p como ganho de energia por unidade de peso, simplesmente:
\text{cota piezométrica na saída} = z_1 + H_p(Q).éí
  • Calculamos H_p(Q) no ponto de operação. Podemos usar H_p(Q)=H_{sys}(Q). Com Q=0{,}01599,
H_p \approx H_{sys}(Q)=12{,}00 +25734\times(0{,}01599)^2.
Calculemos:
(0{,}01599)^2\approx0{,}0002557,\qquad25734\times0{,}0002557\approx6{,}58.
Logo
H_p\approx12{,}00+6{,}58=18{,}58\\ \mathrm{m}.
  • Portanto a cota piezométrica na saída da bomba é
z_1 + H_p = (812{,}00+50X) + 18{,}58 = (830{,}58 + 50X)\\ \mathrm{m}.
(Manter o termo 50X porque as cotas foram dadas em função de X.)

Passo 7

Potência requerida para BbaA (cálculo da potência hidráulica e potência no eixo com interpolação de eficiência).
  • Potência hidráulica:
P_h=\rho g Q H_p.
Usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q\approx0{,}01599\\ \mathrm{m^3/s}, H_p\approx18{,}58\\ \mathrm{m}:
P_h\approx1000\times9{,}81\times0{,}01599\times18{,}58.
Calcule passo a passo:
9{,}81\times0{,}01599\approx0{,}15696,\quad0{,}15696\times18{,}58\approx2{,}914\\ \text{(kW)}.
Multiplicando por 1000 (para W) obtemos P_h\approx2914\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência \eta: interpolar entre os pontos Q=0{,}012 ( \eta=74\%) e Q=0{,}018 ( \eta=86\%). A posição relativa de Q=0{,}016 no intervalo:
\text{fração}=\frac{0{,}016-0{,}012}{0{,}006}= \frac{0{,}004}{0{,}006}=0{,}6667.çã
Assim \eta \approx74\% +0{,}6667\times(86\%-74\%)=74\%+8\%=82\%.
Ou seja \eta\approx0{,}82 (adimensional).
  • Potência no eixo:
P_{eixo}=\frac{P_h}{\eta}\approx\frac{2914}{0{,}82}\approx3555\\ \mathrm{W}\approx3{,}56\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Determinação da vazão de regime, cota piezométrica e potência para a curva BbaB (mesma sequência de passos).
  • Inspeção da tabela e do H_{sys} já calculado:
    • Em Q=0{,}006: H_p=13{,}6\\ \mathrm{m} (BbaB) e H_{sys}(0{,}006)=12{,}00+25734(0{,}006)^2. (0{,}006)^2=0{,}000036\Rightarrow25734\times0{,}000036\approx0{,}929,então H_{sys}(0{,}006)\approx12{,}929\\ \mathrm{m}. Aqui H_p>H_{sys}.
    • Em Q=0{,}012: H_p=11{,}9\\ \mathrm{m} (BbaB) e H_{sys}(0{,}012)\approx15{,}708\\ \mathrm{m}. Aqui H_p<H_{sys}.
    • Logo a interseção está no intervalo [0{,}006,\;0{,}012].
  • Interpolação linear da bomba entre esses pontos:
    m_p = \frac{11{,}9-13{,}6}{0{,}012-0{,}006}=\frac{-1{,}7}{0{,}006}=-283{,}333\\ \mathrm{m/(m^3/s)}.
    E
    H_p(Q)=13{,}6 -283{,}333\,(Q-0{,}006)=15{,}3 -283{,}333\,Q.
  • Igualando com H_{sys}(Q)=12{,}00+25734Q^2:
    15{,}3 -283{,}333\,Q = 12{,}00 +25734\,Q^2
\Rightarrow 25734\,Q^2 +283{,}333\,Q -3{,}3 = 0.
  • Resolviendo a quadrática: a=25734,\quad b=283{,}333,\quad c=-3{,}3.
\Delta = b^2 -4ac \approx(283{,}333)^2 +4\times25734\times3{,}3 \approx80{,}277{,}8 +339{,}688{,}9 \approx420{,}966{,}7.
\sqrt{\Delta}\approx648{,}05.
Solução física (positiva):
Q=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-283{,}333 +648{,}05}{2\times25734} \approx\frac{364{,}717}{51468}\approx0{,}00709\\ \mathrm{m^3/s}.
  • H_p no ponto de operação (usar a igualdade H_p=H_{sys}):
    H_p\approx12{,}00 +25734\times(0{,}00709)^2.
    Calcule:
    (0{,}00709)^2\approx5{,}028\times10^{-5},\quad25734\times5{,}028\times10^{-5}\approx1{,}294.
    Logo
    H_p\approx12{,}00 +1{,}294=13{,}294\\ \mathrm{m}.
  • Cota piezométrica na saída da bomba:
    z_1 + H_p = (812{,}00+50X)+13{,}294 = (825{,}294 + 50X)\\ \mathrm{m}.
  • Potência hidráulica:
    P_h=\rho g Q H_p \approx1000\times9{,}81\times0{,}00709\times13{,}294.
    Calculando:
    9{,}81\times0{,}00709\approx0{,}06956,\quad0{,}06956\times13{,}294\approx0{,}9249,
    então P_h\approx924{,}9\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência \eta: interpolar entre Q=0{,}006 ( \eta=14\%) e Q=0{,}012 ( \eta=34\%). Fração relativa:
    \frac{0{,}00709-0{,}006}{0{,}006}\approx0{,}1817.
    Logo
    \eta \approx14\% +0{,}1817\times(34\%-14\%)=14\% +0{,}1817\times20\%\approx14\% +3{,}63\%=17{,}63\%.
    Em adimensional: \eta\approx0{,}1763.
  • Potência no eixo:
    P_{eixo}=\frac{P_h}{\eta}\approx\frac{924{,}9}{0{,}1763}\approx5247\\ \mathrm{W}\approx5{,}25\\ \mathrm{kW}.

Resposta

BbaA: Q\approx0{,}0160\\ \mathrm{m^3/s}
BbaA: cota piezométrica na saída =(830{,}58 + 50X)\\ \mathrm{m}
BbaA: potência requerida P_{eixo}\approx3{,}56\\ \mathrm{kW}
BbaB: Q\approx0{,}00709\\ \mathrm{m^3/s}
BbaB: cota piezométrica na saída =(825{,}294 + 50X)\\ \mathrm{m}
BbaB: potência requerida P_{eixo}\approx5{,}25\\ \mathrm{kW}

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