Uma bomba opera com:
  • Rotação \mathrm{n}=1750 \mathrm{rpm}
  • Vazão Q=0,020 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
  • Altura manométrica requerida =\mathrm{H}_{\mathrm{T}}=96 \mathrm{~m}
Calcular ns para a mesma bomba trabalhando com:
  • 1 estágio
  • 2 estágios
  • 3 estágios
  • 4 estágios

Passo 1

Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Rotação: \mathrm{n}=1750\\ \mathrm{rpm}.
  • Vazão: \mathrm{Q}=0,020\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • Altura manométrica total: \mathrm{H}_{T}=96\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
Calcular o número específico \mathrm{n_s} da mesma bomba trabalhando com:
  • 1 estágio,
  • 2 estágios,
  • 3 estágios,
  • 4 estágios.

Passo 2

O que é o número específico \mathrm{n_s} e qual fórmula usar.
Explicação didática curta: o número específico é uma grandeza adimensional (ou com unidade de rpm dependendo da definição) que relaciona a rotação, vazão e altura característica da bomba, e serve para comparar formatos de impulsores e seleção de bombas. A fórmula prática mais usada em unidades SI (com \mathrm{n} em rpm, \mathrm{Q} em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e \mathrm{H} em \mathrm{m}) é
\mathrm{n_s}=\mathrm{n}\,\frac{\sqrt{\mathrm{Q}}}{\mathrm{H}^{3/4}}.
Aqui:
  • \mathrm{n_s} é o número específico buscado;
  • \mathrm{n} é a rotação em rpm;
  • \mathrm{Q} é a vazão em \mathrm{m}^3/\mathrm{s};
  • \mathrm{H} é a altura (para cada estágio, a altura por estágio).

Passo 3

Como a presença de vários estágios entra na conta.
Cada estágio fornece uma parcela da altura total, portanto a altura por estágio é
\mathrm{H}_{\text{estágio}}=\frac{\mathrm{H}_T}{s},á
em que s é o número de estágios ( s=1,2,3,4 aqui). A vazão \mathrm{Q} e a rotação \mathrm{n} permanecem as mesmas independentemente do número de estágios.

Passo 4

Expressão de \mathrm{n_s} em função de s (número de estágios).
Substituindo \mathrm{H}=\mathrm{H}_{\text{estágio}}=\dfrac{\mathrm{H}_T}{s}á na fórmula de \mathrm{n_s}:
\mathrm{n_s}(s)=\mathrm{n}\,\frac{\sqrt{\mathrm{Q}}}{\left(\dfrac{\mathrm{H}_T}{s}\right)^{3/4}} =\mathrm{n}\,\sqrt{\mathrm{Q}}\;\frac{s^{3/4}}{\mathrm{H}_T^{3/4}}.
Observação prática: ao dividir a altura total em s estágios, \mathrm{n_s} cresce com s^{3/4}. Isso significa que, para mais estágios (mesma vazão e mesma rotação), o número específico aumenta.

Passo 5

Cálculo dos termos numéricos comuns (passo a passo, sem pular etapas).
Calcular \sqrt{\mathrm{Q}}:
\sqrt{\mathrm{Q}}=\sqrt{0,020}=\sqrt{2\times10^{-2}}=\sqrt{2}\times10^{-1}\approx0,141421356.
Calcular \mathrm{n}\sqrt{\mathrm{Q}}:
\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{Q}}=1750\times0,141421356\approx247,487373.
Calcular \mathrm{H}_T^{3/4}. Uma forma prática é fatorar:
96^{3/4}=(16\times6)^{3/4}=16^{3/4}\times6^{3/4}=8\times6^{3/4}.
Agora
6^{3/4}=\sqrt{\sqrt{6^{3}}}=\sqrt{\sqrt{216}}\approx3,834057902,
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96^{3/4}\approx8\times3,834057902\approx30,672463216.
Calcular a constante que multiplica s^{3/4}:
C=\frac{\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{Q}}}{\mathrm{H}_T^{3/4}} \approx\frac{247,487373}{30,672463216}\approx8,06879.
Portanto a expressão numérica simplificada é
\mathrm{n_s}(s)\approx8,06879\;s^{3/4}.

Passo 6

Cálculo de s^{3/4} para cada número de estágios e então de \mathrm{n_s}.
  • Para s=1:
s^{3/4}=1^{3/4}=1,
\mathrm{n_s}(1)\approx8,06879\times1=8,06879\approx8,07.
  • Para s=2:
2^{3/4}=\mathrm{e}^{0,75\ln 2}\approx1,681792831,
\mathrm{n_s}(2)\approx8,06879\times1,681792831\approx13,57.
  • Para s=3:
3^{3/4}=\mathrm{e}^{0,75\ln 3}\approx2,279507056,
\mathrm{n_s}(3)\approx8,06879\times2,279507056\approx18,39.
  • Para s=4:
4^{3/4}=(2^2)^{3/4}=2^{3/2}=2,828427125,
\mathrm{n_s}(4)\approx8,06879\times2,828427125\approx22,82.
Observação de exame/amigo: em prova, calcule primeiro \sqrt{Q} e \mathrm{H}_T^{3/4} e faça a constante C; depois multiplica por s^{3/4} — isso reduz trabalho e risco de erro.

Resposta

1 estágio: \mathrm{n_s}\approx8,07
2 estágios: \mathrm{n_s}\approx13,57
3 estágios: \mathrm{n_s}\approx18,39
4 estágios: \mathrm{n_s}\approx22,82

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