Bombeia-se gasolina ao longo de um tubo horizontal de ferro fundido (f=0,024) com diâmetro de 8 in e 300 m de comprimento. A pressão absoluta na saída da bomba (instalada no início do tubo) é igual a 90 lbf / in^2 e a pressão de saída do tubo é atmosférica. Determinar a vazão escoada no tubo.
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que estamos bombeando gasolina através de um tubo horizontal de ferro fundido com certas características. A gente precisa descobrir qual é a vazão (ou seja, a quantidade de gasolina que passa pelo tubo por unidade de tempo). Para resolver isso, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach, que nos ajuda a relacionar a perda de carga (diferença de pressão) com a vazão em tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos:
  • Fator de atrito, $ f = 0{,}024 $
  • Diâmetro do tubo, $ D = 8 $ polegadas
  • Comprimento do tubo, $ L = 300 $ metros
  • Pressão na saída da bomba, $ P_1 = 90 , lbf/in^2 $
  • Pressão de saída do tubo, $ P_2 = $ pressão atmosférica

Passo 3

Vamos precisar converter algumas unidades para ficar tudo no mesmo sistema. Vamos converter o diâmetro de polegadas para metros e a pressão de libras-força por polegada quadrada para pascal.
Sabemos que:
  • $ 1 , polegada = 0{,}0254 , m $
  • $ 1 , lbf/in^2 = 6894{,}76 , Pa $
Então:
  • Diâmetro em metros: $ D = 8 \times 0{,}0254 = 0{,}2032 , m $
  • Pressão $ P_1 = 90 \times 6894{,}76 \approx 620{,}528 , Pa $
A pressão atmosférica $ P_2 $ vamos considerar como $ 101{,}325 , kPa $ ou $ 101325 , Pa $.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga:
De
Onde:
  • $ \Delta P = P_1 - P_2 $ é a diferença de pressão
  • $ \rho $ é a densidade da gasolina
  • $ v $ é a velocidade da gasolina no tubo
Mas a gente quer a vazão $ Q $, que está relacionada com a velocidade pela fórmula:
De
E a área da seção transversal $ A $ do tubo é:
rho

Passo 5

Vamos reorganizar a equação de Darcy-Weisbach para resolver para a velocidade $ v $:
v
Depois, a vazão $ Q $ será:
v = raiz 2 De

Passo 6

Precisamos conhecer a densidade da gasolina. Vamos supor que $ \rho = 750 , kg/m^3 $ (valor aproximado comum para gasolina).
Agora, calculamos $ \Delta P $:
rho = 750 , kg/m^3

Passo 7

Vamos substituir todos os valores na equação da vazão:
Q = pi (0,2032)^24 times raiz 2 times 519203 times 0,20320,024 times 300 times 750
Calculando passo a passo:
Primeiro, a área $ A $:
A
Depois, a parte dentro da raiz:
A = pi times 0,2032^24 approx 0,0324 , m^2
Então:
2 times 519203 times 0,20320,024 times 300 times 750 approx 2 times 519203 times 0,20325400 approx 210807, , 5400 approx 39,0
Finalmente, a vazão $ Q $:
v = raiz39,0 approx 6,245 , m/s

Resposta

A vazão escoada no tubo é aproximadamente $ 0{,}202 , m^3/s $.

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