Bombeia-se gasolina ao longo de um tubo horizontal de ferro fundido
com diâmetro de 8 in e 300 m de comprimento. A pressão absoluta na saída da bomba (instalada no início do tubo) é igual a
e a pressão de saída do tubo é atmosférica. Determinar a vazão escoada no tubo.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que estamos bombeando gasolina através de um tubo horizontal de ferro fundido com certas características. A gente precisa descobrir qual é a vazão (ou seja, a quantidade de gasolina que passa pelo tubo por unidade de tempo). Para resolver isso, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach, que nos ajuda a relacionar a perda de carga (diferença de pressão) com a vazão em tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as informações que temos:
- Fator de atrito, $ f = 0{,}024 $
- Diâmetro do tubo, $ D = 8 $ polegadas
- Comprimento do tubo, $ L = 300 $ metros
- Pressão na saída da bomba, $ P_1 = 90 , lbf/in^2 $
- Pressão de saída do tubo, $ P_2 = $ pressão atmosférica
Passo 3
Vamos precisar converter algumas unidades para ficar tudo no mesmo sistema. Vamos converter o diâmetro de polegadas para metros e a pressão de libras-força por polegada quadrada para pascal.
Sabemos que:
- $ 1 , polegada = 0{,}0254 , m $
- $ 1 , lbf/in^2 = 6894{,}76 , Pa $
Então:
- Diâmetro em metros: $ D = 8 \times 0{,}0254 = 0{,}2032 , m $
- Pressão $ P_1 = 90 \times 6894{,}76 \approx 620{,}528 , Pa $
A pressão atmosférica $ P_2 $ vamos considerar como $ 101{,}325 , kPa $ ou $ 101325 , Pa $.
Passo 4
Agora, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga:
Onde:
- $ \Delta P = P_1 - P_2 $ é a diferença de pressão
- $ \rho $ é a densidade da gasolina
- $ v $ é a velocidade da gasolina no tubo
Mas a gente quer a vazão $ Q $, que está relacionada com a velocidade pela fórmula:
E a área da seção transversal $ A $ do tubo é:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação de Darcy-Weisbach para resolver para a velocidade $ v $:
Depois, a vazão $ Q $ será:
Passo 6
Precisamos conhecer a densidade da gasolina. Vamos supor que $ \rho = 750 , kg/m^3 $ (valor aproximado comum para gasolina).
Agora, calculamos $ \Delta P $:
Passo 7
Vamos substituir todos os valores na equação da vazão:
Calculando passo a passo:
Primeiro, a área $ A $:
Depois, a parte dentro da raiz:
Então:
Finalmente, a vazão $ Q $:
Resposta
A vazão escoada no tubo é aproximadamente $ 0{,}202 , m^3/s $.