No interior de um recipiente, calor produzido por decaimento radiativo incide nas paredes do recipiente numa taxa de 5,3 mcW / m^2. A parede do recipiente é de aço (k= 43 W /(mK) ) com espessura de 10 mm . Considerando-se que a temperatura é uniforme no interior do recipiente e que na superfície externa do recipiente, varepsilon=alpha=0,97, calcular a temperatura da superfície interna do recipiente. O recipiente está trafegando no espaço sideral onde T=2,73 K.
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um recipiente onde calor está sendo produzido por decaimento radiativo no interior, com uma taxa de 5,3 , mW/m²². As paredes desse recipiente são de aço, com uma condutividade térmica de k = 43 , W/(mK) e uma espessura de 10 mm (ou 0,01 m). A temperatura dentro do recipiente é uniforme, e na superfície externa, os coeficientes de emissividade varepsilon e absorvidade alpha são 0,97. O recipiente está no espaço sideral, onde a temperatura ambiente é T = 2,73 , K. Precisamos calcular a temperatura da superfície interna do recipiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor está passando pela parede do recipiente. Como temos uma fonte de calor no interior e o espaço está frio, o calor flui por condução através da parede de aço. A equação que descreve essa transferência de calor por condução é:
q = k cdot (Tinterno - Texterno)d
Onde:
  • q é a taxa de fluxo de calor (em W/m²),
  • k é a condutividade térmica do material (em W/(mK)),
  • Tinterno é a temperatura interna do recipiente,
  • Texterno é a temperatura externa da superfície do recipiente,
  • d é a espessura da parede (em metros).

Passo 3

Sabemos que o calor que está passando pela parede também está sendo irradiado para o espaço. A taxa de radiação pode ser descrita pela Lei de Stefan-Boltzmann:
qrad = varepsilon cdot sigma cdot (Texterno^4 - Tespaço^4) ç
Onde:
  • varepsilon é a emissividade da superfície,
  • sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( 5,67 times 10^-8 , W/m²K^4²),
  • Texterno é a temperatura externa da superfície,
  • Tespaçoç é a temperatura do espaço sideral (2,73 K).

Passo 4

No equilíbrio térmico, o calor que passa por condução pela parede é igual ao calor que é irradiado para o espaço. Então, podemos igualar as duas equações:
k cdot (Tinterno - Texterno)d = varepsilon cdot sigma cdot (Texterno^4 - Tespaço^4) ç
Queremos encontrar Tinterno, então vamos rearranjar a equação para isolá-lo.

Passo 5

Primeiro, substituímos os valores conhecidos na equação:
43 cdot (Tinterno - Texterno)0,01 = 0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Texterno^4 - 2,73^4)
Vamos simplificar a equação:
4300 cdot (Tinterno - Texterno) = 0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Texterno^4 - 2,73^4)

Passo 6

Agora, precisamos resolver essa equação para Tinterno. Primeiro, vamos calcular 2,73^4:
2,73^4 approx 2,73 times 2,73 times 2,73 times 2,73 approx 55,17 , K^4
Então, a equação fica:
4300 cdot (Tinterno - Texterno) = 0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Texterno^4 - 55,17)

Passo 7

Vamos isolar Tinterno:
Tinterno = Texterno + 0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Texterno^4 - 55,17)4300
Como a temperatura externa Texterno é a que vamos encontrar, precisamos resolver a equação numericamente. No entanto, vamos assumir que a contribuição de Texterno^4 é muito pequena comparada a 55,17, já que o espaço está muito frio.

Passo 8

Aproximando, podemos considerar:
Tinterno approx Texterno + 0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (-55,17)4300
Calculando:
0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (-55,17)4300 approx -7,91 times 10^-9 , K
Isso indica que a variação de temperatura é muito pequena, portanto:
Tinterno approx Texterno

Resposta

A temperatura da superfície interna do recipiente é aproximadamente Tinterno approx Texterno approx 2,73 , K.

Exercícios relacionados