Pode-se reduzir as emissões de óxido nítrico (NO(g) do escapamento de automóveis usando um conversor catalítico. Os gases liberados no escapamento reagem na superfície de um catalisador sólido segundo uma reação de 1a ordem ( RA=-k1 CA 0) do tipo:
NO(g)+CO(g) 1 / 2 N2(g)+CO2(g)
Os gases produzidos na reação N2(g) e CO2(g) são constituintes do ar atmosférico. Assim, como uma primeira aproximação, podemos admitir que o NO(g) alcança o catalisador pela difusão unidimensional através de uma película fina de ar estagnado com espessura L em contato com a superfície do catalisador. Em um sistema em que os gases são produzidos a 500^circ C e 1,2 atm, a espessura da película de ar estagnado é L=1 mm. Sabe-se que a reação não é instantânea, sendo a constante k1=0,05 m / s; a fração molar de NO(g) na posição x=L da película é xAL=0,15. A difusividade para as condições do problema é D NO-ar =10^-4 m^2 / s.
(a) Obtenha a equação de descreve o perfil de concentração do NO(g) no interior da película de ar estagnado;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre como reduzir as emissões de óxido nítrico (NO) usando um conversor catalítico. A gente vai precisar usar conceitos de difusão e reações químicas de primeira ordem. Basicamente, vamos descobrir como a concentração de NO muda dentro da camada de ar parada que está em contato com o catalisador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O NO está se difundindo através de uma camada de ar parada com espessura $ L = 1 $ mm até chegar ao catalisador, onde reage com o CO. A reação é de primeira ordem, então a taxa de reação depende da concentração de NO.

Passo 3

A equação que descreve o equilíbrio entre a difusão do NO e a reação que ocorre no catalisador é a equação de difusão com termo de reação:
D d^2 Cdx^2 - k1 C = 0
Aqui, $ D $ é o coeficiente de difusão do NO no ar, $ C $ é a concentração de NO, $ x $ é a posição na camada de ar, e $ k_1 $ é a constante de taxa da reação.

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. A equação homogênea é:
d^2 Cdx^2 - k1D C = 0
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções exponenciais:
C(x) = A e^mx + B e^-mx
Onde $ m = \sqrt{\frac{k_1}{D}} $, e $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições de fronteira.

Passo 5

As condições de fronteira são:
  1. Na posição $ x = L $, a concentração de NO é $ C_{AL} = 0,15 $.
  2. Na superfície do catalisador $ x = 0 $, vamos considerar que a concentração é $ C_0 $ (a concentração inicial).
Aplicando essas condições na solução geral:
x = L
CAL = 0,15

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações para $ A $ e $ B $:
Da segunda equação:
A
Substituindo na primeira equação:
B
Resolvendo para $ B $:
A = C0 - B
(C0 - B) e^mL + B e^-mL = CAL
B
E similarmente para $ A $:
C0 e^mL - B e^mL + B e^-mL = CAL

Passo 7

Finalmente, substituindo $ A $ e $ B $ de volta na solução geral, temos:
A
Onde $ \sinh $ é a função seno hiperbólico.

Resposta

A equação que descreve o perfil de concentração do NO(g) dentro da película de ar estagnado é:
C(x) = C0 sinh(m(L - x))sinh(mL) + CAL sinh(mx)sinh(mL)
Onde:
m = raizk1D

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