Bônus 5 (1pt). Calcule o determinante da matriz
A=[llll 1 & x & x^2 & x^3 1 & y & y^2 & y^3 1 & z & z^2 & z^3 1 & t & t^2 & t^3 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & x & x^2 & x^3 1 & y & y^2 & y^3 1 & z & z^2 & z^3 1 & t & t^2 & t^3
e pede det(A). Essa matriz é uma matriz de Vandermonde de ordem 4, cujo determinante geral é dado por
prod1<= i<j<= 4(lambdaj-lambdai),
onde lambda1=x, lambda2=y, lambda3=z, lambda4=t.

Passo 2

Para ver por que vale essa fórmula, fazemos operações elementares de linha. Subtraímos à segunda, terceira e quarta linhas a primeira linha: para i=2,3,4 fazemos
Li Li - L1
Cada uma dessas operações mantém o determinante, mas nas novas linhas aparecem fatores
y-x,;z-x,;t-x
respectivamente, que podemos então “fatorar” de cada linha. Logo aparece
det(A) = (y-x)(z-x)(t-x),det(M),
onde M é uma matriz 3times3 de Vandermonde em y,z,t.

Passo 3

Ao expandir por cofactor na primeira coluna de M, ou repetir o mesmo raciocínio de subtração de linha em M, obtemos
det(M)=prod2<= i<j<= 4(lambdaj-lambdai) =(z-y)(t-y)(t-z)
Multiplicando tudo, conclui-se
det(A) =(y-x)(z-x)(t-x),(z-y)(t-y)(t-z) =prod1<= i<j<=4(lambdaj-lambdai)

Resposta

det(A)=(y-x)(z-x)(t-x)(z-y)(t-y)(t-z)

Exercícios relacionados