Questão 3(2,5 pt). Determine os valores de m para os quais o sistema possui única solução
l x+2 y-2 z-t=1 2 x-2 y-2 z-3 t=-1 2 x-2 y-z-5 t=9 3 x-y+z-m t=0

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de
tenha única solução. Isso ocorre exatamente quando a matriz de coeficientes é invertível, ou seja, seu determinante é diferente de zero. Vamos calcular esse determinante em função de (m].

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & -2 & -1 [6pt] 2 & -2 & -2 & -3 [6pt] 2 & -2 & -1 & -5 [6pt] 3 & -1 & 1 & -m
e aplicamos operações de linha para simplificar o cálculo do determinante:
R2 & R2-2R1, & R3 & R3-2R1, & R4 & R4-3R1
Isso leva a
1 & 2 & -2 & -1 [4pt] 0 & -6 & 2 & -1 [4pt] 0 & -6 & 3 & -3 [4pt] 0 & -7 & 7 & 3-m
Como a primeira coluna fica (1,0,0,0)^T, temos
det(A) =1;det! -6 & 2 & -1 -6 & 3 & -3 -7 & 7 & 3-m ]

Passo 3

Defina
B = -6 & 2 & -1 -6 & 3 & -3 -7 & 7 & 3-m
Expandindo det(B) pela primeira linha,
det(B) =(-6)det!3 & -37 & 3-m -2det!-6 & -3-7 & 3-m +(-1)det!-6 & 3-7 & 7
Calculando cada menor:
det!3 & -37 & 3-m =30-3m, det!-6 & -3-7 & 3-m =6m-39, det!-6 & 3-7 & 7 =-21
Logo
det(B) =(-6)(30-3m)-2(6m-39)+(-1)(-21) =6m-81

Passo 4

Portanto
det(A)=det(B)=6m-81
O sistema tem solução única se e somente se det(A)neq0, ou seja,
6m-81neq0 Longrightarrow mneq816=272

Resposta

mneq272.

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