QUESTÃO 01 | VALOR 3.5

Dados os vetores x e a, obtenha um conjunto ortonormal de vetores Z=z1, z2, z3, z4 tal que o vetor z1 apresente a mesma direção e sentido que a direção definida pelo vetor a. Siga os passos definidos a seguir.
I. Obtenha o vetor z1.
II. Obtenha o vetor z2 via decomposição ortogonal de x sobre z1.
III. Obtenha a solução geral (paramétrica) que representa qualquer vetor perpendicular à z1, z2.
IV. Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter chi3, L4.

MARIANNA JOVANNOWICH RODRIGUES

x=(3,-3,-4,4)
a=(1,3,2,-2)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt em R^4 às “seeds”
a=(1,3,2,-2), x=(3,-3,-4,4)
de modo a obter um conjunto ortonormal
Z=z1,z2,z3,z4
onde z1 tem a mesma direção e sentido de a.

Passo 2

Vamos primeiro normalizar a para obter
z1 ;=;a|a|, |a|=raiz1^2+3^2+2^2+(-2)^2=raiz18=3raiz2
Logo
z1 =13raiz2,(1,3,2,-2)
Em seguida ortogonalizamos x a z1:
projz1x =llang<=x,z1rrang<=,z1 com lang<=x,arang<= =3cdot1+(-3)cdot3+(-4)cdot2+4cdot(-2)=-22,
|a|^2=18 Longrightarrow projz1x =-2218,a =-119(1,3,2,-2)
Definindo
u2 =x-projz1x =l(3,-3,-4,4r) +119,(1,3,2,-2) =l(tfrac389,tfrac23,-tfrac149,tfrac149r)
temos
|u2|^2 =187281 Longrightarrow |u2|=4raiz133,
de onde
z2 =u2|u2| =34raiz13 l(tfrac389,tfrac23,-tfrac149,tfrac149r) =l(tfrac196raiz13,,tfrac12raiz13,,-tfrac76raiz13,,tfrac76raiz13r)

Passo 3

Precisamos da solução geral de
v=(v1,v2,v3,v4)tal que lang<= v,z1rang<==0, lang<= v,z2rang<==0
Essas duas equações lineares são equivalentes a
v1+3v2+2v3-2v4=0, 19v1+3v2-7v3+7v4=0
Tomando v3=s,;v4=t livres, resolve-se o sistema e encontra-se
v1=s-t2, v2=5(t-s)6,
logo a solução geral é
v(s,t) =l(tfracs-t2,,tfrac5(t-s)6,,s,,tr) =s,( tfrac12,,-tfrac56,,1,,0) +t,(-tfrac12,,tfrac56,,0,,1)

Passo 4

Escolhemos como geradores do subespaço ortogonal a
z1,z2 os dois vetores particulares
p1=l(tfrac12,-tfrac56,1,0r), p2=l(-tfrac12,tfrac56,0,1r)
Aplicando Gram–Schmidt em p1,p2 obtemos
|p1|=raiz706, z3 =p1|p1| =l(tfrac3raiz70,-tfrac5raiz70,tfrac6raiz70,0r),
u4 =p2-lang<=p2,z3rang<=,z3 =(-tfrac935,tfrac37,tfrac1735,1), |u4|=raiztfrac5235 =2raiz13raiz35,
z4 =u4|u4| =l(-tfrac9raiz3570raiz13,, tfrac3raiz3514raiz13,, tfrac17raiz3570raiz13,, tfracraiz352raiz13r)

Resposta

z1=13raiz2(1,3,2,-2), z2=l(tfrac196raiz13,tfrac12raiz13,-tfrac76raiz13,tfrac76raiz13r),
z3=l(tfrac3raiz70,-tfrac5raiz70,tfrac6raiz70,0r), z4=l(-tfrac9raiz3570raiz13,tfrac3raiz3514raiz13,tfrac17raiz3570raiz13,tfracraiz352raiz13r)

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