(Bônus) Mostre que se
é um número real, e
é uma função ímpar integrável em
, então
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para um número real
e uma função
integrável em
que satisfaça
vale
O conteúdo que vamos usar é a definição de integral em partes de um intervalo simétrico e a propriedade de funções ímpares.
Passo 2
Escrevemos a integral em dois trechos
Na primeira parcela, façamos a substituição
. Quando
vai de
até
,
vai de
até
, e
. Logo,
Mas como
é ímpar,
. Portanto
Passo 3
Substituindo esse resultado de volta na divisão da integral, obtemos
Como as variáveis de integração são meramente “nomes”, podemos igualar os dois integrais em
a
e ver que
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