(Bônus) Mostre que se L>0 é um número real, e f é uma função ímpar integrável em [-L, L], então
\int_{-L}^{L} f(x) d x=0

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para um número real L>0 e uma função f integrável em [-L,L] que satisfaça
f(-x) = -f(x)\quad\text{(ou seja, \(f\) é ímpar),}éí
vale
\int_{-L}^{L} f(x)\,dx = 0.
O conteúdo que vamos usar é a definição de integral em partes de um intervalo simétrico e a propriedade de funções ímpares.

Passo 2

Escrevemos a integral em dois trechos
\int_{-L}^{L} f(x)\,dx = \int_{-L}^{0} f(x)\,dx \;+\;\int_{0}^{L} f(x)\,dx.
Na primeira parcela, façamos a substituição x=-t. Quando x vai de -L até 0, t vai de L até 0, e dx=-dt. Logo,
\int_{-L}^{0} f(x)\,dx = \int_{t=L}^{t=0} f(-t)\,(-dt) = \int_{0}^{L} f(-t)\,dt.
Mas como f é ímpar, f(-t) = -f(t). Portanto
\int_{-L}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{L} \bigl(-f(t)\bigr)\,dt = -\int_{0}^{L} f(t)\,dt.

Passo 3

Substituindo esse resultado de volta na divisão da integral, obtemos
\int_{-L}^{L} f(x)\,dx = \Bigl(-\int_{0}^{L} f(t)\,dt\Bigr) \;+\;\int_{0}^{L} f(x)\,dx.
Como as variáveis de integração são meramente “nomes”, podemos igualar os dois integrais em 0 a L e ver que
-\int_{0}^{L} f(t)\,dt + \int_{0}^{L} f(x)\,dx = 0.
Logo
\int_{-L}^{L} f(x)\,dx = 0.

Resposta

0

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