Calcular as integrais definidas:
(3) \int_{0}^{1}\left(x^{3}-4 x^{2}+1\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 da função f(x)=x^{3}-4x^{2}+1. O conteúdo aqui é aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais definidas a primitivas.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{0}^{1}f(x)\,dx = F(1)-F(0),
onde F é uma primitiva de f. Vamos encontrar F(x).

Passo 3

Calculamos a primitiva termo a termo: \displaystyle \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \displaystyle \int (-4x^{2})\,dx = -4\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{4x^{3}}{3}, \displaystyle \int 1\,dx = x.
Logo, uma primitiva é
F(x) = \frac{x^{4}}{4} \;-\; \frac{4x^{3}}{3} \;+\; x.

Passo 4

Agora avaliamos em 1 e em 0:
F(1)=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+1 =\frac{3-16+12}{12} =-\frac{1}{12},
F(0)=0.

Resposta

\int_{0}^{1}\bigl(x^{3}-4x^{2}+1\bigr)\,dx = -\frac{1}{12}.

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