Calcule:
\int_{0}^{1} 5 x^{3} \sqrt{1-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}5x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\;dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição em integrais e o que vamos precisar é escolher uma substituição que simplifique a raiz \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 - x^{2}.
Então
du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Também temos x^{2} = 1 - u.

Passo 3

Em \int_{0}^{1}5x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx, note que x^{3}\,dx = x^{2}\,(x\,dx)=(1-u)\bigl(-\tfrac{1}{2}du\bigr) e \sqrt{1-x^{2}} = \sqrt{u}=u^{1/2}. Os limites mudam de x=0\mapsto u=1 e x=1\mapsto u=0. Logo,
\int_{0}^{1}5x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx =5\int_{u=1}^{u=0}(1-u)\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)u^{1/2}\,du.

Passo 4

O sinal menos inverte os limites, resultando em
5\int_{1}^{0}\!-\tfrac{1}{2}(1-u)u^{1/2}\,du = \frac{5}{2}\int_{0}^{1}(1-u)\,u^{1/2}\,du = \frac{5}{2}\Bigl[\int_{0}^{1}u^{1/2}\,du \;-\;\int_{0}^{1}u^{3/2}\,du\Bigr].
Calculamos cada integral:
\int_{0}^{1}u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3}, \quad \int_{0}^{1}u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{2}{5}.
Substituindo,
\frac{5}{2}\Bigl(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\Bigr) = \frac{5}{2}\cdot\frac{10-6}{15} = \frac{5}{2}\cdot\frac{4}{15} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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