Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \ln \left(x^{2}+4\right) dx (1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln\bigl(x^{2}+4\bigr)\,dx
O conteúdo principal aqui é integrar uma função logarítmica usando o método de integração por partes.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = \ln\bigl(x^{2}+4\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx, \quad v = x.

Passo 3

Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int \ln\bigl(x^{2}+4\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) - \int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+4}\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) - 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+4}\,dx.

Passo 4

Para simplificar \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{2}+4}\,dx, escrevemos
\frac{x^{2}}{x^{2}+4} = 1 \;-\; \frac{4}{x^{2}+4}.
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\int \frac{x^{2}}{x^{2}+4}\,dx = \int 1\,dx - 4\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = x - 4\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) = x \;-\; 2\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta em (3), obtemos
\int \ln\bigl(x^{2}+4\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) - 2\bigl[x - 2\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr] + C.
Distribuindo o -2 e juntando termos, fica
\boxed{ x\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) -2x +4\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C }.

Resposta

x\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) -2x +4\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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