(1,0 ponto) Use o fato
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}
para obter a série de Maclaurin da função x^{2} \cos x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=x^{2}\cos(x^{2}). Vamos usar o fato de que
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}
e empregar dois passos principais: (1) fazer a substituição x\to x^{2} na série de \cos x e (2) multiplicar o resultado por x^{2}.

Passo 2

Substituímos x por x^{2} na série de \cos x. Logo,
\cos(x^{2}) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(x^{2})^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{4n}}{(2n)!}.

Passo 3

Agora multiplicamos ambos os lados por x^{2} para obter x^{2}\cos(x^{2}). Assim,
x^{2}\cos(x^{2}) =x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{4n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{4n+2}}{(2n)!}.

Resposta

x^{2}\cos(x^{2}) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{4n+2}}{(2n)!} =x^{2}-\frac{x^{6}}{2!}+\frac{x^{10}}{4!}-\frac{x^{14}}{6!}+\cdots

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