(1,0 ponto) Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k x^{k}}{k!}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\,x^{k}}{k!}.
O conteúdo principal aqui é aplicação do teste da razão para séries de potências, que nos dá o raio de convergência.

Passo 2

Escrevemos a série na forma \sum_{k=1}^\infty c_k x^k com
c_k = \frac{k}{k!}.
Aplicamos o teste da razão:
L \;=\;\lim_{k\to\infty}\left|\frac{c_{k+1}\,x^{\,k+1}}{c_k\,x^k}\right| =\lim_{k\to\infty}\bigl|x\bigr|\;\frac{c_{k+1}}{c_k}.
Mas
\frac{c_{k+1}}{c_k} =\frac{\frac{k+1}{(k+1)!}}{\frac{k}{k!}} =\frac{k+1}{(k+1)\,k!}\;\frac{k!}{k} =\frac1{k},
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L=\lim_{k\to\infty}\frac{|x|}{k}=0.

Passo 3

Como L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge absolutamente em qualquer valor de x.
Isso implica que o raio de convergência é
R = \infty.

Passo 4

Se o raio é infinito, o intervalo de convergência é toda a reta real, ou seja,
(-\infty,\infty).

Resposta

Raio de convergência: R=\infty.
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty).

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