(Bônus - 1,0 ponto) Obtenha a solução geral, na forma explícita, da ED y^{\prime}=4+8 x+y^{2}+2 x y^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 4 + 8x + y^2 + 2xy^2
e pede a solução geral na forma explícita. Observando o lado direito, vamos ver se ela é separável.

Passo 2

Note que
4 + 8x = 4(1 + 2x), \quad y^2 + 2xy^2 = y^2(1 + 2x),
logo podemos agrupar
y' = (1 + 2x)\,(4 + y^2).

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando tudo com y de um lado e tudo com x do outro:
\frac{dy}{4 + y^2} = (1 + 2x)\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. De um lado,
\int \frac{dy}{4 + y^2} = \frac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr),
e do outro,
\int (1 + 2x)\,dx = x + x^2 + C.
Portanto temos
\frac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr) = x + x^2 + C.

Passo 5

Multiplicando por 2 e isolando y, obtemos
\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr) = 2x + 2x^2 + C_1 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{y}{2} = \tan\bigl(2x^2 + 2x + C_1\bigr)
e assim a solução na forma explícita é
y(x) = 2\,\tan\bigl(2x^2 + 2x + C_1\bigr).

Resposta

y(x) = 2\,\tan\bigl(2x^2 + 2x + C\bigr),
onde C é a constante de integração.

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