Dada a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=e^{2 x}+3 y,
(a) (1,5) Encontre a solução geral da mesma. R: y=C e^{3 x}-e^{2 x}
(b) (0,4) Mostre que a função encontrada em a) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{d y}{d x}=e^{2 x}+3\,y
que é uma EDO linear não homogênea do tipo
\frac{d y}{d x}-3\,y = e^{2 x}.
Para resolver esse tipo de equação vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -3\,dx\Bigr)=\exp(-3x)=e^{-3x}.
Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{-3x}\frac{d y}{d x}-3\,e^{-3x}y = e^{-3x}e^{2x}=e^{-x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto y\,e^{-3x}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-3x}\bigr) =e^{-3x}\frac{d y}{d x}+y\,\frac{d}{dx}(e^{-3x}) =e^{-3x}\frac{d y}{d x}-3\,e^{-3x}y.
Logo temos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-3x}\bigr)=e^{-x}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{-3x}=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C,
onde C é a constante de integração. Assim
y = \bigl(-e^{-x}+C\bigr)\,e^{3x} = C\,e^{3x}-e^{2x}.

Passo 3

Agora verificamos que a função
y(x)=C\,e^{3x}-e^{2x}
satisfaz a equação original. Calculamos sua derivada:
\frac{d y}{d x} =3C\,e^{3x}-2e^{2x}.
Por outro lado, o lado direito da EDO é
e^{2x}+3\,y =e^{2x}+3\bigl(C\,e^{3x}-e^{2x}\bigr) =3C\,e^{3x}-3e^{2x}+e^{2x} =3C\,e^{3x}-2e^{2x}.
Como \frac{d y}{d x}=e^{2x}+3y fica
3C\,e^{3x}-2e^{2x}=3C\,e^{3x}-2e^{2x},
a igualdade vale e, portanto, a função encontrada é de fato solução.

Resposta

(a) y=C\,e^{3x}-e^{2x}.
(b) Substituindo em \tfrac{dy}{dx}=e^{2x}+3y obtemos igualdade em ambos os lados, logo a solução está verificada.

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