Dada a equação diferencial
(a)
Encontre a solução geral da mesma. R:
(b)
Mostre que a função encontrada em a) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
que é uma EDO linear não homogênea do tipo
Para resolver esse tipo de equação vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
definido por
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Logo temos
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 3
Agora verificamos que a função
satisfaz a equação original. Calculamos sua derivada:
Por outro lado, o lado direito da EDO é
Como
fica
a igualdade vale e, portanto, a função encontrada é de fato solução.
Resposta
(a)
(b) Substituindo em obtemos igualdade em ambos os lados, logo a solução está verificada.
(b) Substituindo em