Dado o problema de valor inicial (PVI)
(a)
Mostre que a EDO é homogênea.
(b)
Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(c)
Determine a solução do PVI. R:
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O conteúdo envolve reconhecer que a EDO é homogênea, classificar sua ordem e linearidade, e resolver um PVI de 1ª ordem usando a substituição própria para EDO homogênea.
Passo 2
Para mostrar que a EDO é homogênea basta ver que a função
satisfaz
Isso prova que
é homogênea de grau zero.
Passo 3
A equação
é de primeira ordem, pois aparece apenas
, e não é linear em
(o lado direito é uma razão não linear em
). Logo, é uma EDO de ordem
e não linear.
Passo 4
Para resolver usamos a substituição típica de EDO homogênea
Substituindo na EDO:
Isolando
:
Separando variáveis:
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2 e voltando a
:
Usando a condição
temos
, o que faz o lado esquerdo valer
e o direito
. Logo
.