Dado o problema de valor inicial (PVI)
\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y}, \quad y(1)=0 .
(a) (0,3) Mostre que a EDO é homogênea.
(b) (0,4) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(c) (1,5) Determine a solução do PVI. R: 2 \arctan (y / x)-\log \left(y^{2} / x^{2}+1\right)=2 \log (x)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y},\quad y(1)=0.
O conteúdo envolve reconhecer que a EDO é homogênea, classificar sua ordem e linearidade, e resolver um PVI de 1ª ordem usando a substituição própria para EDO homogênea.

Passo 2

Para mostrar que a EDO é homogênea basta ver que a função
f(x,y) = \frac{x+y}{x-y}
satisfaz
f(tx,ty) = \frac{tx + ty}{tx - ty} = \frac{t(x+y)}{t(x-y)} = \frac{x+y}{x-y} = f(x,y).
Isso prova que f é homogênea de grau zero.

Passo 3

A equação
\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}
é de primeira ordem, pois aparece apenas \frac{dy}{dx}, e não é linear em y (o lado direito é uma razão não linear em y). Logo, é uma EDO de ordem 1 e não linear.

Passo 4

Para resolver usamos a substituição típica de EDO homogênea
y = v x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na EDO:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1+v}{1-v}.
Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v - v(1-v)}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}.
Separando variáveis:
\frac{1-v}{1+v^2}\,dv = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int\!\frac{1}{1+v^2}\,dv \;-\!\!\int\!\frac{v}{1+v^2}\,dv = \int\!\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \arctan(v) - \tfrac12\log\bigl(1+v^2\bigr) = \log|x| + C.
Multiplicando por 2 e voltando a v=y/x:
2\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) \;-\;\log\!\bigl(1+\tfrac{y^2}{x^2}\bigr) = 2\log|x| + C'.
Usando a condição y(1)=0 temos v(1)=0, o que faz o lado esquerdo valer 0 e o direito 2\log1 + C'=C'. Logo C'=0.

Resposta

2\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\;-\;\log\!\Bigl(1+\tfrac{y^{2}}{x^{2}}\Bigr) =2\log(x).

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