Dado o problema de valor inicial
y^{\prime}+(2 \cos x) y=4 \cos x, \quad y(0)=1 .
(a) ( 0,4 ponto) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) ( 0,3 ponto) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
(c) ( 1,6 ponto) Determine a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' + (2\cos x)\,y = 4\cos x, \quad y(0)=1.
É uma EDO de primeira ordem e parece linear em y. Para resolver precisamos: (i) classificar ordem e linearidade; (ii) verificar onde as funções envolvidas são contínuas para existir e ser única solução; (iii) usar fator integrante para obter a solução explícita satisfazendo y(0)=1.

Passo 2

Para classificar a EDO escrevemos
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x)=2\cos x e q(x)=4\cos x. Então é uma equação de primeira ordem e, porque aparece y' e y de forma linear (sem produtos ou potências de y), é linear.

Passo 3

O teorema de existência e unicidade exige que p(x) e q(x) sejam contínuas no ponto inicial e num intervalo ao redor. Como \cos x é contínua em todo \mathbb{R}, concluímos que a solução existe e é única em todo \mathbb{R}. Logo, o maior intervalo de existência e unicidade é
(-\infty,\infty).

Passo 4

Para resolver usamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int 2\cos x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(2\sin x\bigr).
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
\bigl(\mu(x)\,y\bigr)' = \mu(x)\,q(x) = e^{2\sin x}\cdot 4\cos x.
Para integrar o lado direito, fazemos t=2\sin x de modo que dt=2\cos x\,dx, daí
\int 4e^{2\sin x}\cos x\,dx = 4\int e^{t}\,\frac{dt}{2} = 2e^t + C = 2e^{2\sin x}+C.
Assim
e^{2\sin x}\,y = 2e^{2\sin x} + C \quad\Longrightarrow\quad y = 2 + C\,e^{-2\sin x}.

Passo 5

Para satisfazer y(0)=1 notamos que \sin0=0, logo
y(0) = 2 + C\,e^{0} = 2 + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Portanto a solução do PVI é
y(x) = 2 - e^{-2\sin x}.

Resposta

(a) A EDO é de primeira ordem e linear.
(b) A solução existe e é única em todo (-\infty,\infty).
(c) y(x)=2 - e^{-2\sin x}.

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