Dado o problema de valor inicial
(a) ( 0,4 ponto) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) ( 0,3 ponto) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
(c) ( 1,6 ponto) Determine a solução do PVI.
(b) ( 0,3 ponto) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
(c) ( 1,6 ponto) Determine a solução do PVI.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
É uma EDO de primeira ordem e parece linear em
. Para resolver precisamos: (i) classificar ordem e linearidade; (ii) verificar onde as funções envolvidas são contínuas para existir e ser única solução; (iii) usar fator integrante para obter a solução explícita satisfazendo
.
Passo 2
Para classificar a EDO escrevemos
onde
e
. Então é uma equação de primeira ordem e, porque aparece
e
de forma linear (sem produtos ou potências de
), é linear.
Passo 3
O teorema de existência e unicidade exige que
e
sejam contínuas no ponto inicial e num intervalo ao redor. Como
é contínua em todo
, concluímos que a solução existe e é única em todo
. Logo, o maior intervalo de existência e unicidade é
Passo 4
Para resolver usamos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
obtemos
Para integrar o lado direito, fazemos
de modo que
, daí
Assim
Passo 5
Para satisfazer
notamos que
, logo
Portanto a solução do PVI é
Resposta
(a) A EDO é de primeira ordem e linear.
(b) A solução existe e é única em todo .
(c) .
(b) A solução existe e é única em todo
(c)