Usando limites exponenciais ou a regra de L’Hôpital, calcule os seguintes limites:
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{tg}(x)-x}{x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)-x}{x^3}.
Esse limite é do tipo \tfrac{0}{0}, ent~ao podemos usar a regra de L’H^opital (ou s’erie de Taylor). Aqui optamos pela regra de L’H^opital.

Passo 2

Verificamos a indeterminação ao substituir x=0:
\tan(0)-0=0 e 0^3=0, logo é \frac{0}{0}.

Passo 3

Aplicando L’H^opital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}[\tan(x)-x]=\operatorname{sec}^2(x)-1, \quad \frac{d}{dx}[x^3]=3x^2.
A’i
\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)-x}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec}^2(x)-1}{3x^2}.

Passo 4

Usamos a identidade \operatorname{sec}^2(x)-1=\tan^2(x). Assim
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec}^2(x)-1}{3x^2} =\lim_{x\to0}\frac{\tan^2(x)}{3x^2} =\frac{1}{3}\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\tan(x)}{x}\Bigr)^2.

Passo 5

Sabemos o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{x}=1.
Logo
\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\tan(x)}{x}\Bigr)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}\frac{\tan(x)-x}{x^3}=\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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