Usando limites exponenciais ou a regra de L’Hôpital, calcule os seguintes limites:
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{tg}(x)-x}{x^{3}}\right)
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{tg}(x)-x}{x^{3}}\right)
Passo 1
O enunciado pede calcular
Esse limite é do tipo
, ent~ao podemos usar a regra de L’H^opital (ou s’erie de Taylor). Aqui optamos pela regra de L’H^opital.
Passo 2
Verificamos a indeterminação ao substituir
:
e
, logo é
.
Passo 3
Aplicando L’H^opital, derivamos numerador e denominador:
A’i
Passo 4
Usamos a identidade
. Assim
Passo 5
Sabemos o limite fundamental
Logo