Calcule as seguintes Transformadas de Laplace Inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s^{2}-4}{(s+1)(s-2)(s-3)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2s^2-4}{(s+1)(s-2)(s-3)}.
O conteúdo principal aqui é decompor F(s) em frações parciais e depois usar o fato de que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-a}\Bigr\}(t)=e^{at}.

Passo 2

Suponha a decomposição em frações parciais
\frac{2s^2-4}{(s+1)(s-2)(s-3)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{s-3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s-2)(s-3) obtém-se
2s^2-4 \;=\; A\,(s-2)(s-3)\;+\;B\,(s+1)(s-3)\;+\;C\,(s+1)(s-2).

Passo 3

Para achar A, B e C usamos valores convenientes de s:
Para s=-1:
2(-1)^2-4=-2 = A\,(-1-2)(-1-3)=12A \quad\Longrightarrow\quad A=-\frac{1}{6}.
Para s=2:
2\cdot2^2-4=4 = B\,(2+1)(2-3)=-3B \quad\Longrightarrow\quad B=-\frac{4}{3}.
Para s=3:
2\cdot3^2-4=14 = C\,(3+1)(3-2)=4C \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{7}{2}.

Passo 4

Substituindo na decomposição temos
F(s)=-\frac{1}{6}\,\frac{1}{s+1} -\frac{4}{3}\,\frac{1}{s-2} +\frac{7}{2}\,\frac{1}{s-3}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+1}\Bigr\}(t)=e^{-t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-2}\Bigr\}(t)=e^{2t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-3}\Bigr\}(t)=e^{3t},
obtemos
f(t)=-\frac{1}{6}e^{-t}-\frac{4}{3}e^{2t}+\frac{7}{2}e^{3t}.

Resposta

f(t)=-\frac{1}{6}e^{-t}-\frac{4}{3}e^{2t}+\frac{7}{2}e^{3t}.

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