Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
g(t)=\left\{\begin{array}{cc}0, & t<2 \\\ t-2, & t \geq 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função em partes
g(t)= \begin{cases} 0, & t<2,\\\ t-2, & t\ge2. \end{cases}
O conteúdo envolvido é a aplicação da função de Heaviside (degrau unitário) e do teorema de deslocamento no tempo na transformada de Laplace.

Passo 2

Escrevemos g(t) usando o degrau unitário u(t-2). Para t\ge2 temos g(t)=t-2 e para t<2, g(t)=0. Logo
g(t)=(t-2)\,u(t-2).

Passo 3

Usamos o teorema de deslocamento no tempo: se f(t)=t tem \mathcal L\{f(t)\}=1/s^2, então
\mathcal L\{f(t-a)\,u(t-a)\} =e^{-a s}\,F(s).
Aqui f(t)=t e a=2, logo
\mathcal L\{(t-2)\,u(t-2)\} =e^{-2s}\,\frac{1}{s^2}.

Resposta

G(s)=\mathcal L\{g(t)\} =\frac{e^{-2s}}{s^2}.

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