Usando as regras de derivação apropriadas, calcule cada uma das derivadas solicitadas.
A primeira derivada de f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x) a^{x}-x^{3}}{\cos (x)};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sin(x)\,a^{x}-x^{3}}{\cos(x)}.
Aqui vamos usar a regra do quociente, a regra do produto para \sin(x)\,a^{x} e a derivada de a^{x}, que é a^{x}\ln(a).

Passo 2

Definimos o numerador
u(x)=\sin(x)\,a^{x}-x^{3}.
Para u'(x) aplicamos produto em \sin(x)\,a^{x} e subtraímos a derivada de x^3:
u'(x) =\bigl[\cos(x)\,a^{x}+\sin(x)\,a^{x}\ln(a)\bigr]-3x^{2}.

Passo 3

Definimos o denominador
v(x)=\cos(x),
cuja derivada é
v'(x)=-\sin(x).

Passo 4

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Substituindo u, u', v e v' obtemos
f'(x) =\frac{\bigl[\cos(x)\,a^{x}+\sin(x)\,a^{x}\ln(a)-3x^{2}\bigr]\cos(x) -\bigl[\sin(x)\,a^{x}-x^{3}\bigr]\bigl(-\sin(x)\bigr)} {\cos^{2}(x)}.

Passo 5

Expandindo o numerador e usando \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1, temos
\cos(x)\,a^{x}\cos(x)+\sin(x)\,a^{x}\ln(a)\,\cos(x)-3x^{2}\cos(x) +\sin(x)\,a^{x}\sin(x)-x^{3}\sin(x)
=a^{x}\bigl(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\bigr) +a^{x}\sin(x)\cos(x)\ln(a) -3x^{2}\cos(x)-x^{3}\sin(x)
=a^{x}+a^{x}\sin(x)\cos(x)\ln(a)-3x^{2}\cos(x)-x^{3}\sin(x).

Resposta

f'(x) =\frac{a^{x}\bigl[1+\sin(x)\cos(x)\ln(a)\bigr]-3x^{2}\cos(x)-x^{3}\sin(x)}{\cos^{2}(x)}.

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