(bônus) Em uma progressão aritmética
, o
. termo menos o
. termo é igual a 5 . A divisão deste
. termo pelo
. termo é igual a 2 . Qual a soma dos primeiros 4 primeiros termos desta PA?
Passo 1
O enunciado dá uma progressão aritmética (PA) com as seguintes informações:
- O
termo menos o termo é igual a . - A divisão do
termo pelo termo é igual a .
O que o problema pede:
- A soma dos primeiros
termos dessa PA.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos duas condições envolvendo
e : -
. -
.
-
Passo 2
Lembrando a fórmula do termo geral de uma PA:
onde
é o primeiro termo e
é a razão (diferença comum).
Aplicando para os termos pedidos:
Aqui expliquei o que cada símbolo significa:
é o terceiro termo,
o quinto,
é o primeiro termo (desconhecido) e
é a razão (desconhecida).
Passo 3
Usar a primeira condição
. Substituindo as expressões:
Simplificando o lado esquerdo:
Logo a razão é
Passo 4
Agora usar a segunda condição
. Substituindo
e
:
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
, veremos que a solução é consistente):
Expandindo o lado direito:
Subtrai-se
dos dois lados:
Portanto
(Dado que
, a condição
é satisfeita, porque
.)
Passo 5
Com
e
, calcular os quatro primeiros termos:
Passo 6
Calcular a soma dos primeiros
termos. Uso a fórmula da soma dos
primeiros termos:
Para
:
Verificação direta somando os termos:
.