(bônus) Em uma progressão aritmética (\mathrm{PA}), o 5^{\circ}. termo menos o 3^{\circ}. termo é igual a 5 . A divisão deste 5^{\circ}. termo pelo 3^{\circ}. termo é igual a 2 . Qual a soma dos primeiros 4 primeiros termos desta PA?

Passo 1

O enunciado dá uma progressão aritmética (PA) com as seguintes informações:
  • O 5^{\circ} termo menos o 3^{\circ} termo é igual a 5.
  • A divisão do 5^{\circ} termo pelo 3^{\circ} termo é igual a 2.
O que o problema pede:
  • A soma dos primeiros 4 termos dessa PA.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos duas condições envolvendo a_3 e a_5:
    • a_5 - a_3 = 5.
    • \dfrac{a_5}{a_3} = 2.

Passo 2

Lembrando a fórmula do termo geral de uma PA:
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde \,a_1 é o primeiro termo e d é a razão (diferença comum).
Aplicando para os termos pedidos:
a_3 = a_1 + 2d,
a_5 = a_1 + 4d.
Aqui expliquei o que cada símbolo significa: a_3 é o terceiro termo, a_5 o quinto, a_1 é o primeiro termo (desconhecido) e d é a razão (desconhecida).

Passo 3

Usar a primeira condição a_5 - a_3 = 5. Substituindo as expressões:
(a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = 5.
Simplificando o lado esquerdo:
a_1 + 4d - a_1 - 2d = 5 \quad\Rightarrow\quad 2d = 5.
Logo a razão é
d = \dfrac{5}{2}.

Passo 4

Agora usar a segunda condição \dfrac{a_5}{a_3} = 2. Substituindo a_3 e a_5:
\dfrac{a_1 + 4d}{a_1 + 2d} = 2.
Multiplicando ambos os lados por a_1 + 2d (assumindo a_1+2d\neq0, veremos que a solução é consistente):
a_1 + 4d = 2(a_1 + 2d).
Expandindo o lado direito:
a_1 + 4d = 2a_1 + 4d.
Subtrai-se 4d dos dois lados:
a_1 = 2a_1.
Portanto
a_1 = 0.
(Dado que a_1=0, a condição a_1+2d\neq0 é satisfeita, porque a_1+2d = 0 + 2\cdot\frac{5}{2} = 5 \neq 0.)

Passo 5

Com a_1=0 e d=\dfrac{5}{2}, calcular os quatro primeiros termos:
a_1 = 0,
a_2 = a_1 + d = 0 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{2},
a_3 = a_1 + 2d = 0 + 2\cdot\dfrac{5}{2} = 5,
a_4 = a_1 + 3d = 0 + 3\cdot\dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{2}.

Passo 6

Calcular a soma dos primeiros 4 termos. Uso a fórmula da soma dos n primeiros termos:
S_n = \dfrac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr).
Para n=4:
S_4 = \dfrac{4}{2}\bigl(2a_1 + 3d\bigr) = 2\bigl(2\cdot 0 + 3\cdot \dfrac{5}{2}\bigr) = 2\cdot \dfrac{15}{2} = 15.
Verificação direta somando os termos: 0 + \dfrac{5}{2} + 5 + \dfrac{15}{2} = \dfrac{0+5+10+15}{2} = \dfrac{30}{2} = 15.

Resposta

15

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