Determine o valor da expressão:
\sqrt{6!}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor de \sqrt{6!}. As informações relevantes são:
  • Está pedindo a raiz quadrada de \,6!.
  • Lembrete: \,6! significa o produto dos inteiros positivos de 1 até 6.

Passo 2

Calcular \,6! passo a passo usando a definição de fatorial.
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1
Vamos multiplicar em etapas para não se perder:
1\cdot2 = 2
2\cdot3 = 6
6\cdot4 = 24
24\cdot5 = 120
120\cdot6 = 720
Portanto
6! = 720.

Passo 3

Agora calculamos \sqrt{720}. Para simplificar a raiz, fatoramos 720 em potências de primos e extraímos quadrados perfeitos.
Fatoração de 720:
720 = 72\cdot10 = (8\cdot9)\cdot(2\cdot5) = 2^3\cdot3^2\cdot2\cdot5 = 2^4\cdot3^2\cdot5.

Passo 4

Usamos que \sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} e extraímos potências pares:
\sqrt{720}=\sqrt{2^4\cdot3^2\cdot5}=\sqrt{2^4}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{5}=2^2\cdot3\cdot\sqrt{5}=4\cdot3\cdot\sqrt{5}.
Portanto
\sqrt{720}=12\sqrt{5}.

Passo 5

Como checagem rápida, uma aproximação numérica:
\sqrt{5}\approx2,23607\quad\Rightarrow\quad 12\sqrt{5}\approx26,8328,
o que bate com \sqrt{720} aproximado.

Resposta

12\sqrt{5}

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