Esboce o gráfico da função
, definida por
. Essa função é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
, que é definida de duas maneiras diferentes: uma para
e outra para
. Além disso, precisamos descobrir se essa função é contínua em
. Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
se comporta quando
não é igual a 3. Nesse caso, a função é
. Essa é uma função quadrática, que a gente sabe que tem o formato de uma parábola. Para desenhar o gráfico, vamos identificar pontos importantes, como o vértice e as raízes, se houver.
Passo 3
Calculemos o vértice da parábola
. A fórmula do vértice para uma parábola
é
. Aqui,
e
, então:
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Então, o vértice está no ponto
.
Passo 4
Vamos verificar as raízes da equação
. Resolvendo:
Portanto, a única raiz é
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da parábola
. Sabemos que o vértice é
e que a parábola toca o eixo
apenas em
. Como
é positivo, a parábola abre para cima.
Passo 6
Precisamos considerar o ponto onde
. A função está definida como
. Então, no gráfico, teremos um ponto específico em
, que não segue a parábola.
Passo 7
Para verificar a continuidade em
, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se:
- Ela está definida nesse ponto.
- O limite existe nesse ponto.
- O limite é igual ao valor da função no ponto.
Passo 8
Primeiro, já sabemos que
está definida. Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 3, mas sem ser igual a 3:
Passo 9
Comparando o limite com o valor da função em
:
Como 4 não �� igual a 7, a função não é contínua em
.
Resposta
A função
não é contínua em
, porque o limite quando
se aproxima de 3 é 4, diferente do valor da função nesse ponto, que é 7.