Esboce o gráfico da função h(x), definida por h(x) = { x^2 - 2x + 1, se x ≠ 3; 7, se x = 3 }. Essa função é contínua em x = 3 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função , que é definida de duas maneiras diferentes: uma para e outra para . Além disso, precisamos descobrir se essa função é contínua em . Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta quando não é igual a 3. Nesse caso, a função é . Essa é uma função quadrática, que a gente sabe que tem o formato de uma parábola. Para desenhar o gráfico, vamos identificar pontos importantes, como o vértice e as raízes, se houver.

Passo 3

Calculemos o vértice da parábola . A fórmula do vértice para uma parábola é . Aqui, e , então:
Agora, substituímos na função para encontrar :
Então, o vértice está no ponto .

Passo 4

Vamos verificar as raízes da equação . Resolvendo:
Portanto, a única raiz é .

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da parábola . Sabemos que o vértice é e que a parábola toca o eixo apenas em . Como é positivo, a parábola abre para cima.

Passo 6

Precisamos considerar o ponto onde . A função está definida como . Então, no gráfico, teremos um ponto específico em , que não segue a parábola.

Passo 7

Para verificar a continuidade em , vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se:
  1. Ela está definida nesse ponto.
  2. O limite existe nesse ponto.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto.

Passo 8

Primeiro, já sabemos que está definida. Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3, mas sem ser igual a 3:

Passo 9

Comparando o limite com o valor da função em :
Como 4 não �� igual a 7, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em , porque o limite quando se aproxima de 3 é 4, diferente do valor da função nesse ponto, que é 7.

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