(Bônus - 1,0) Use uma integral de linha para encontrar a área da região varrida pela reta da origem até a hipérbole x=a cosh t, y=b sinh t se t variar de t=0 a t=t0(t0 >= 0).

Passo 1

O enunciado pede a área da região varrida pela reta que une a origem ao ponto
l(x(t),y(t)r)=(acosh t,;bsinh t)
quando t vai de 0 a t0. Para uma curva r(t)=(x(t),y(t)) balançando em torno da origem, a área gerada é
A=12integral0^t0l(x,dy - y,dxr)
que em paramétrico vira
A=12integral0^t0l(x(t),y'(t)-y(t),x'(t)r),dt

Passo 2

Escrevemos as funções e suas derivadas:
x(t)=acosh t, y(t)=bsinh t,
x'(t)=asinh t, y'(t)=bcosh t

Passo 3

Calculamos o integrando
x,y' - y,x' = l(acosh tr)l(bcosh tr) - l(bsinh tr)l(asinh tr) = abl(cosh^2t - sinh^2tr) = ab

Passo 4

Substituindo em A:
A =12integral0^t0 ab ,dt =ab2integral0^t0dt =ab2,t0

Resposta

A=ab2;t0

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