(a) Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z)=x i+(y+2) j+2 z k para movimentar um objeto sobre a curva r(t)=(t-sin (t)) i+(1-cos (t)) j+(cos (t)) k, 0 <= t <= 2 pi. (1,0)
(b) Qual seria o trabalho se a curva fosse uma circunferência? Justifique. (0,6)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o campo de força F(x,y,z)=xi+(y+2)j+2zk e a curva
r(t)=(t-sin t)i+(1-cos t)j+cos tk para 0<= t<=2pi.
Precisamos calcular o trabalho
W=integralCFcdot dr
O conteúdo principal é integral de linha em campo vetorial e reconhecimento de campo conservativo.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo calculando o rotacional:
nablatimesF =i&j&k partialx&partialy&partialz x&y+2&2z =0
Como nablatimesF=0 em R^3 conexo, F é conservativo.

Passo 3

Buscamos um potencial f(x,y,z) tal que nabla f=F.
Integramos P=x em x:
f(x,y,z)=integral x,dx=x^22+h(y,z)
Derivando em y e igualando a Q=y+2 resulta
partial hpartial y=y+2 implies h(y,z)=y^22+2y+g(z)
Derivando em z e igualando a R=2z
g'(z)=2zimplies g(z)=z^2+C
Portanto, um potencial é
f(x,y,z)=x^22+y^22+2y+z^2

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha,
W=fl(r(2pi)r)-fl(r(0)r)
Temos r(0)=(0,0,1) e r(2pi)=(2pi,0,1).
Logo
f(2pi,0,1)=(2pi)^22+0+0+1=2pi^2+1, f(0,0,1)=0+0+0+1=1,
e
W=2pi^2+1-1=2pi^2

Passo 5

Se a curva for uma circunferência fechada, os pontos inicial e final coincidem. Como F é conservativo, o trabalho em trajetória fechada é
W=0

Resposta

(a) 2pi^2
(b) 0, pois o campo é conservativo e o trabalho em curva fechada é zero.

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