Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a (menor) distância da origem ao plano de equação 3 x-2 y+z=6. Justifique a sua resposta!

Passo 1

O problema pede para encontrar a menor distância do ponto origem ao plano de equação 3x–2y+z=6 usando o método dos multiplicadores de Lagrange. O conteúdo da matéria é otimização com restrição: vamos usar a função que representa o quadrado da distância e impor a restrição do plano via Lagrangeanos.

Passo 2

Definimos a função a minimizar e a restrição. Como distância ao quadrado de (x,y,z) à origem temos f(x,y,z)=x2+y2+z^2. A restrição do plano é g(x,y,z)=3x–2y+z–6=0. Formamos o Lagrangeano L=f–λg.

Passo 3

Igualamos os gradientes a zero: ∇f=λ∇g. Isso dá as equações:
2x=λ·3,
2y=λ·(−2),
2z=λ·1
Daí isolamos x,y,z em função de λ: x=3λ/2, y=−λ, z=λ/2.

Passo 4

Usamos a restrição para achar λ. Substituindo x,y,z em g=0:
3·(3λ/2) -2·(−λ) + (λ/2) -6 =0
Simplificando obtém-se 7λ=6, logo λ=6/7.

Passo 5

Com λ=6/7 encontramos o ponto mais próximo:
x=9/7,
y=-6/7,
z=3/7
A distância mínima é o módulo desse vetor.

Passo 6

Calculamos a distância mínima como

Resposta

A menor distância da origem ao plano é 6/√14.

Exercícios relacionados