Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce a tal forma que sua altura h(t), após t anos, está variando a uma taxa de 0,06 t+0,3 t^2 centímetros/ano. Encontrar a expressão que forneça a altura desta árvore ao final do ano t.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de crescimento da altura h(t) em centímetros por ano,
dhdt = 0,06,t + 0,3,t^2,
e pede a própria função h(t). O conteúdo aqui é integrar uma taxa de variação para obter a função original. Vamos precisar usar integração indefinida e, em seguida, determinar a constante de integração considerando a condição inicial.

Passo 2

Escrevemos a integral da taxa de variação para recuperar h(t):
h(t) = integrall(0,06,t + 0,3,t^2r),dt

Passo 3

Integramos termo a termo e incluímos a constante de integração C:
h(t) = 0,06integral t,dt ;+; 0,3integral t^2,dt ;+; C = 0,06cdott^22 ;+; 0,3cdott^33 ;+; C = 0,03,t^2 + 0,1,t^3 + C

Passo 4

Para determinar C, assumimos que no instante t=0 (na muda recém-plantada) a altura era zero, isto é, h(0)=0. Substituindo:
0 = h(0) = 0,03cdot0^2 + 0,1cdot0^3 + C Longrightarrow C = 0

Resposta

h(t) = 0,03,t^2 + 0,1,t^3
Essa expressão dá a altura da árvore (em centímetros) ao final de t anos.

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