Calcular as integrais utilizando o método de integração de funções racionais por frações parciais:
integral x^3 d xx^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3x^2+2x+1,dx
O conteúdo é integração de funções racionais por frações parciais. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, vamos primeiro fazer divisão polinomial e depois decompor em frações simples.

Passo 2

Fazemos a divisão de x^3 por (x+1)^2 = x^2+2x+1. Escrevendo
x^3 = (x^2+2x+1),(x-2) + (3x+2),
segue que
x^3(x+1)^2 = x - 2 + 3x+2(x+1)^2

Passo 3

Agora decompomos a parte remanescente:
3x+2(x+1)^2 = 3(x+1)-1(x+1)^2 = 3x+1 ;-;1(x+1)^2
Portanto obtemos
x^3(x+1)^2 = x - 2 + 3x+1 - 1(x+1)^2

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral x,dx = x^22, -2integral dx = -2x, 3integral dxx+1 = 3lnlvert x+1rvert, -integral dx(x+1)^2 = 1x+1
Somando tudo, vem
integral x^3x^2+2x+1,dx = x^22 - 2x + 3lnlvert x+1rvert + 1x+1 + C

Resposta

x^22 - 2x + 3lnlvert x+1rvert + 1x+1 + C

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