Seja
um campo vetorial de classe
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá um campo vetorial
de classe
em
e pede para mostrar que
Para isso, vamos usar as definições de rotacional e de divergência e o fato de que, sendo
de classe
, as derivadas parciais mistas comutam (teorema de Clairaut).
Passo 2
A definição de rotacional (curl) é
Passo 3
A definição de divergência (div) de um campo
é
Aqui vamos aplicar isso a
.
Passo 4
Substituindo os componentes de
na fórmula da divergência, obtemos
onde por exemplo
e assim por diante. Expandindo, fica
Passo 5
Como
são
, vale a igualdade das derivadas parciais mistas:
Logo cada par de termos na soma anterior cancela, resultando em zero.