Seja F=(P, Q, R) um campo vetorial de classe C^2, mostre que div(rot F)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial F=(P,Q,R) de classe C^2 em R^3 e pede para mostrar que
div(rot,F)=0
Para isso, vamos usar as definições de rotacional e de divergência e o fato de que, sendo P,Q,R de classe C^2, as derivadas parciais mistas comutam (teorema de Clairaut).

Passo 2

A definição de rotacional (curl) é
rot,F =nablatimesF =l( partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial y r)

Passo 3

A definição de divergência (div) de um campo G=(G1,G2,G3) é
div,G =partial G1partial x +partial G2partial y +partial G3partial z
Aqui vamos aplicar isso a G=rot,F.

Passo 4

Substituindo os componentes de rot,F na fórmula da divergência, obtemos
div(rot,F) =partialpartial xl(Ry-Qzr) +partialpartial yl(Pz-Rxr) +partialpartial zl(Qx-Pyr),
onde por exemplo Ry=partial Rpartial y e assim por diante. Expandindo, fica
Ryx-Qzx+Pzy-Rxy+Qxz-Pyz

Passo 5

Como P,Q,R são C^2, vale a igualdade das derivadas parciais mistas:
Ryx=Rxy, Pzy=Pyz, Qxz=Qzx
Logo cada par de termos na soma anterior cancela, resultando em zero.

Resposta

div(rot,F)=0

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