Calcular as integrais utilizando o método de integração de funções racionais por frações parciais:
integral 3 x-5(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3x-5(x+1)^2,dx
usando o método de integração de funções racionais por frações parciais. Esse método consiste em decompor a expressão em soma de termos cujo antiderivado conhecemos.

Passo 2

Verificamos que a fração é própria (o grau do numerador é menor que o do denominador). Assim, fazemos a decomposição
3x-5(x+1)^2=Ax+1+B(x+1)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1)^2, obtemos
3x-5 = A(x+1)+B = Ax + A + B
Comparando coeficientes de x e termo constante:
A = 3, A + B = -5 Longrightarrow B = -5 - 3 = -8

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integral 3x-5(x+1)^2,dx = integral l(3x+1 - 8(x+1)^2r),dx = 3integral dxx+1 - 8integral (x+1)^-2,dx
Agora aplicamos as fórmulas:
integral dxx+1 = lnlvert x+1rvert, integral (x+1)^-2,dx = -1x+1
Logo,
3lnlvert x+1rvert - 8l(-1x+1r) = 3lnlvert x+1rvert + 8x+1 + C

Resposta

3lnlvert x+1rvert + 8x+1 + C

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