Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que medisse o crescimento dessa árvore no decorrer do tempo. Sua conclusão foi que, ao plantar-se essa árvore, seu crescimento, no decorrer dos anos, é dado por
. Analisando essa função, responda:
a) depois de 3 anos qual é o tamanho da árvore?
b) quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 16 metros?
a) depois de 3 anos qual é o tamanho da árvore?
b) quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 16 metros?
Passo 1
Vamos entender o que a questão nos apresenta. Temos uma função exponencial que representa o crescimento da árvore ao longo do tempo:
. Precisamos usar essa função para responder duas perguntas:
a) Depois de 3 anos, qual é o tamanho da árvore?
b) Quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 16 metros?
Passo 2
a) Depois de 3 anos, qual é o tamanho da árvore?
Para descobrir o tamanho da árvore após 3 anos, precisamos substituir
na função
.
A função está na forma
, onde
representa a altura da árvore no tempo
.
Passo 3
Substituindo
na função:
Isso significa que, depois de 3 anos, a altura da árvore é de 2 metros.
b) Quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 16 metros?
Aqui, queremos encontrar o valor de
quando
.
Começamos com a equação:
Passo 4
Para resolver essa equação, primeiro vamos isolar
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Como as potências de 2 são iguais, podemos igualar os expoentes:
Portanto, a árvore leva 6 anos para atingir a altura de 16 metros.
Resposta
a) Depois de 3 anos, a árvore tem 2 metros de altura.
b) A árvore leva 6 anos para atingir a altura de 16 metros.