Um botânico, encantado com o pau-brasil, dedicou-se, durante anos de estudos, a conseguir criar uma função exponencial que medisse o crescimento dessa árvore no decorrer do tempo. Sua conclusão foi que, ao plantar-se essa árvore, seu crescimento, no decorrer dos anos, é dado por C(t)=0,5.2^t-1. Analisando essa função, responda:
a) depois de 3 anos qual é o tamanho da árvore?
b) quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 16 metros?

Passo 1

Vamos entender o que a questão nos apresenta. Temos uma função exponencial que representa o crescimento da árvore ao longo do tempo: C(t) = 0,5 cdot 2^t-1 . Precisamos usar essa função para responder duas perguntas:
a) Depois de 3 anos, qual é o tamanho da árvore?
b) Quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 16 metros?

Passo 2

a) Depois de 3 anos, qual é o tamanho da árvore?

Para descobrir o tamanho da árvore após 3 anos, precisamos substituir t = 3 na função C(t) .
A função está na forma C(t) = 0,5 cdot 2^t-1 , onde C(t) representa a altura da árvore no tempo t .

Passo 3

Substituindo t = 3 na função:
C(3) = 0,5 cdot 2^3-1 = 0,5 cdot 2^2 = 0,5 cdot 4 = 2
Isso significa que, depois de 3 anos, a altura da árvore é de 2 metros.

b) Quanto tempo essa árvore leva para atingir a altura de 16 metros?

Aqui, queremos encontrar o valor de t quando C(t) = 16 .
Começamos com a equação:
16 = 0,5 cdot 2^t-1

Passo 4

Para resolver essa equação, primeiro vamos isolar 2^t-1 :
2^t-1 = 160,5 = 32
Sabemos que 32 = 2^5 , então:
2^t-1 = 2^5

Passo 5

Como as potências de 2 são iguais, podemos igualar os expoentes:
t - 1 = 5 implies t = 6
Portanto, a árvore leva 6 anos para atingir a altura de 16 metros.

Resposta

a) Depois de 3 anos, a árvore tem 2 metros de altura.
b) A árvore leva 6 anos para atingir a altura de 16 metros.

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