QUESTÃO 02 (6 pontos): Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar. Como consequência, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponha que certa quantidade de um determinado elemento radioativo se decomponha segundo a expressão
Onde
é a quantidade de massa radioativa desse elemento no tempo
(dado em anos).
(a) Calcule o tempo necessário para que a massa desse elemento atinja
de sua massa inicial.
(b) Analise se em algum momento esse elemento deixará de existir por ter massa nula.
(a) Calcule o tempo necessário para que a massa desse elemento atinja
(b) Analise se em algum momento esse elemento deixará de existir por ter massa nula.
Passo 1
O enunciado nos dá a lei de decaimento de um elemento radioativo
onde
é a massa restante em função do tempo
(anos) e
é a massa inicial. Na parte (a) queremos encontrar
tal que
. Para isso, vamos usar propriedades de potências e logaritmos de base 10. Na parte (b) vamos analisar o limite de
quando
para ver se a massa chega a zero num tempo finito.
Passo 2
Procuramos
tal que
ou seja
Cancelando
e isolando a potência:
Aplicamos logaritmo de base 10 em ambos os lados:
Logo
Calculando numericamente
, obtemos
Passo 3
Para ver se a massa chega a zero em tempo finito, estudamos o comportamento de
quando
. Como
temos
Porém, esse limite só é atingido em
. Logo, em tempo finito a massa nunca será exatamente zero, apenas se aproxima de zero assintoticamente.
Resposta
(a)
anos.
(b) A massa nunca atinge exatamente zero em tempo finito; ela tende a zero apenas quando .
(b) A massa nunca atinge exatamente zero em tempo finito; ela tende a zero apenas quando