QUESTÃO 02 (6 pontos): Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar. Como consequência, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponha que certa quantidade de um determinado elemento radioativo se decomponha segundo a expressão
m(t)=mo cdot 10^-t70
Onde m(t) é a quantidade de massa radioativa desse elemento no tempo t (dado em anos).
(a) Calcule o tempo necessário para que a massa desse elemento atinja 18 de sua massa inicial.
(b) Analise se em algum momento esse elemento deixará de existir por ter massa nula.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de decaimento de um elemento radioativo
m(t)=m0cdot 10^-t70
onde m(t) é a massa restante em função do tempo t (anos) e m0 é a massa inicial. Na parte (a) queremos encontrar t tal que m(t)=tfrac18m0. Para isso, vamos usar propriedades de potências e logaritmos de base 10. Na parte (b) vamos analisar o limite de m(t) quando ttoinfty para ver se a massa chega a zero num tempo finito.

Passo 2

Procuramos t tal que
m(t)=18m0
ou seja
m0cdot 10^-t70 = 18m0
Cancelando m0 e isolando a potência:
10^-t70 = 18
Aplicamos logaritmo de base 10 em ambos os lados:
-t70 = log10!l(tfrac18r) = -log10(8)
Logo
t70 = log10(8) Longrightarrow t = 70,log10(8)
Calculando numericamente log10(8)approx0,90309, obtemos
t approx 70 times 0,90309 approx 63,2 anos

Passo 3

Para ver se a massa chega a zero em tempo finito, estudamos o comportamento de m(t) quando ttoinfty. Como
10^-t70longrightarrow 0 quando ttoinfty,
temos
m(t)=m0cdot 10^-t70longrightarrow 0 quando ttoinfty
Porém, esse limite só é atingido em ttoinfty. Logo, em tempo finito a massa nunca será exatamente zero, apenas se aproxima de zero assintoticamente.

Resposta

(a) tapprox63,2 anos.
(b) A massa nunca atinge exatamente zero em tempo finito; ela tende a zero apenas quando ttoinfty.

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