Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. No 1^circ dia a planta alcançou a altura de 5 cm . No 6^circ dia a planta alcançou a altura de 20 cm . Supondo que a função que representa essa situação é uma função afim, determine:
a) A altura da planta no 22^circ dia.
b) Em que dia a planta alcançou a altura de 92 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o crescimento de uma planta ao longo dos dias. A gente sabe que no primeiro dia ela tem 5 cm e no sexto dia tem 20 cm. Vamos usar o conteúdo de função afim para descobrir como a altura da planta muda com o tempo. Para resolver isso, a gente vai precisar montar a função que relaciona os dias com a altura e usar essa função para responder às perguntas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função afim. Ela tem a forma geral:
f(x) = a cdot x + b
Onde:
  • f(x) é a altura da planta no dia x ,
  • a é a taxa de crescimento por dia,
  • b é a altura inicial da planta.
Nós temos dois pontos dados:
  • No 1º dia ( x = 1 ), a altura é 5 cm ( f(1) = 5 ),
  • No 6º dia ( x = 6 ), a altura é 20 cm ( f(6) = 20 ).
Vamos usar esses pontos para encontrar os valores de a e b .

Passo 3

Vamos montar duas equações com os pontos que temos:
  1. Para o 1º dia:
5 = a cdot 1 + b Rightarrow a + b = 5 (Equação 1) çã
  1. Para o 6º dia:
20 = a cdot 6 + b Rightarrow 6a + b = 20 (Equação 2) çã
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar a e b .

Passo 4

Subtraindo a Equação 1 da Equação 2 para eliminar b :
6a + b - (a + b) = 20 - 5 5a = 15 a = 3
Agora que temos a = 3 , substituímos na Equação 1 para encontrar b :
3 + b = 5 b = 2
Então, a função que representa a altura da planta é:
f(x) = 3x + 2

Passo 5

Agora, vamos responder às perguntas:
a) Qual a altura da planta no 22º dia?
Basta substituir x = 22 na função:
f(22) = 3 cdot 22 + 2 = 66 + 2 = 68 cm
b) Em que dia a planta alcançou a altura de 92 cm?
Aqui, queremos encontrar x tal que f(x) = 92 :
92 = 3x + 2 3x = 90 x = 30

Resposta

a) No 22º dia, a planta alcançou 68 cm de altura.
b) A planta alcançou 92 cm no 30º dia.

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