Determine as assíntotas horizontais de y=f(x) nos seguintes casos.
f(x)=raiz4 x^2+1x

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais de y=f(x) para
f(x)=raiz4x^2+1x
Como assíntota horizontal é uma reta y=L tal que limxtopminftyf(x)=L, vamos calcular os limites de f(x) quando xto+infty e xto-infty.

Passo 2

Para facilitar os limites, fatoramos dentro da raiz quadrada:
raiz4x^2+1=raizx^2l(4+1x^2r)=l|xr|raiz4+1x^2
Assim
f(x)=raiz4x^2+1x =|x|x,raiz4+1x^2
Note que |x|x=1 se x>0 e |x|x=-1 se x<0.

Passo 3

Limite em +infty: para xto+infty temos tfrac|x|x=1 e raiz4+tfrac1x^2toraiz4=2. Logo
limxto+inftyf(x) =1cdot 2 =2

Passo 4

Limite em -infty: para xto-infty temos tfrac|x|x=-1 e raiz4+tfrac1x^2to2. Logo
limxto-inftyf(x) =-1cdot 2 =-2

Resposta

As assíntotas horizontais são
y=2 e y=-2

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